Question

Через середину O гипотенузы AB прямоугольного треугольника АВС проведена прямая,перпендикулярная к гипотенузе и пересекающая катет АС в точке М. Найдите площадь треугольника AMO, если АМ=25 и МС=7

Answer 1

Треугольник АВС, уголС=90, МО перпендикуляр на АВ, АО=ОВ, АМ=25, МС=7, проводим прямую ВМ, треугольник АМВ равнобедренній, МЩ-высота=медиане, только в равнобедренном треугольнике, треугольник МВС прямоугольный, ВС=корень(ВМ в квадрате-МС в квавдрате)=корень(625-49)=24, АС=25+7=32, АВ=корень(АС в квадрате+ВС в квадрате)=корень(1024+576)=40, АО=ОВ=40/2=20, треугольник АОМ прямоугольный, ОС=корень(АМ в квадрате-АО в квадрате)=корен(625-400)=15, площадь АМО=1/2*АО*ОС=1/2*20*15=150

Answer 2

SΔAMO=1/2*AO*МО
1) Соединив М и В, получим треугольник АМВ. ΔАМВ равнобедренный, так как МО - высота (по условию) и медиана (АО=ОВ - по условию) ⇒ АМ=МВ=25
2) Из ΔМСВ по т.Пифагора:
СВ²=МВ²-МС²=25²-7²=625-49=576; СВ=√576=24
3) Рассмотрим ΔАСВ: АС=АМ+МС=25+7=32; СВ=24 
По т.Пифагора находим гипотенузу АВ=√(32²+24²)=√(1024+576)=√1600=40
АО=ОВ=АВ/2=20
4) Из ΔАМО по т.Пифагора МО=√(АМ²-АО²)=√(625-400)=√225=15
5) SΔAMO=1/2*AO*МО=150 (ед²)
Ответ: SΔAMO=150