Question

В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 15 см,16см и 17 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если двугранные углы при основании пирамиды равны 60 градусов

Answer 1

Площадь основания считается по формуле Герона: a = 15; b = 16; c = 17;

p = (a + b + c)/2 = 24; p - a = 9; p - b = 8; p - c = 7;

S = корень(24*9*8*7) = 24*корень(21);

Площадь боковой поверхности в данном  случае проще всего сосчитать по формуле

Sбок = S/cos(60) = 48*корень(21); площадь полной поверхности 72*корень(21).

 

Если надо -

доказать формулу Sбок*cos(Ф) = S, если все грани наклонены под одним углом, просто, если представить площадь основания как сумму площадей проекций боковых граней. Ясно, что у каждой боковой грани в качестве проекции - треугольник, у которого общее с гранью основание - это ребро основания пирамиды, а отношение высот как раз равно cos(Ф). Кроме того, при равных углах наклона боковых граней вершина пирамиды проектируется в центр вписанной окружности, поскольку эта проекция будет равноудалена от сторон оснований. Это означает, что все АПОФЕМЫ равны. И - само собой, доказывает необходимую формулу - достаточно просто сложить площади всех проекций боковых граней.