Question

Докажите, что если в равнобедренную трапецию с основаниями a и b вписана окружность, то ее радиус равен 1/2 умноженная на корень из ab

Answer 1

Введу другие обозначения: основания трапеции за b и c(b>c), а боковую сторону за a. так как трапеция описана, то b+c=a+a⇒b+c=2a.
если провести две высоты из меньшего основания на большее, то они разделят большее основание на следующие отрезки: (c-b)/2, b, (c-b)/2.
по теореме Пифагора a=√((c-b)²/2²+h²)⇒b+c=√((c-b)²/2²+h²)⇒h=√(c+b)²/2²-(c-b)²/2²)=1/2((c+b)²-(c-b)²)=1/2√(4bc)=√bc, что и требовалось доказать.