Question

В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 4. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C1 проведена плоскость α , параллельная прямой BD1 . а) Докажите, что A1P: PB1 = 2:1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1 . б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C .

Answer 1

Для удобства я достроил к кубу ещё два таких же куба
а)продолжим КС1 до точки Т, треугольники В1С1К и С1ТЕ равны, значит ТЕ=1
прямы KS и BD1 параллельны, В1К=1, значит SD1=3
проведём прямую TN проходящую через S
NO-SD1=SD1-TE=2
значит NO=5
треугольники NPO и PB1K подобны по 3 углам
NO/B1K=OP/PB1=5/1
OP=5x
PB1=x
OB1=6x
значит ОА1=3х
А1Р=2х
А1Р/PB1=2/1

б)опустим перпендикуляр из В1 на линию пересечения плоскостей КС1
КС1²=В1К²+В1С1²
КС1=√17
треугольники В1С1М и В1С1К подобны по трём углам
КС1/В1С1=КВ/B1M
(√17)/4=1/B1M
B1M=4/√17
PB1- перпендикуляр к плоскости В1С1СВ
PB1=4/3
угол РМВ1 - угол между плоскостями которые даны
tg(PMB1)=PB1/MB1=(4/3)/(4/√17)=(√17)/3