Question

Одна из сторон треугольника равно 30 см, а другая сторона делится точкой касания вписанной окружности на отрезки длиной 12 см и 14 см, считая от конца неизвестной стороны. Найти радиус вписанной окружности.

Answer 1

Пусть D, E и F - точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника АВС: АС, АВ и ВС соответственно.
Нам дано: АВ=30см, ВF=14см, FC=12см.
Заметим, что ВЕ=ВF=14см, DC=FC=12см, а АЕ=АD как касательные, проведенные из одной точки к окружности.
Тогда АЕ=АВ-ВЕ=30-14=16см, значит АD=16см. DC=FC=12см.
Значит АС=AD+DC=16+12=28см.
Полупериметр треугольника равен: р=(30+26+28):2=42см.
Есть формула для вписанной в треугольник окружности:
r=√[(p-a)(p-b)(p-c)/р], где р - полупериметр, а, b, c - стороны треугольника.
В нашем случае: r=√(12*16*14/42)=√64=8см.
Ответ: r=8см.
Или по формуле r=S/p, где S - площадь треугольника.
 Площадь найдем по формуле Герона:
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]   или в нашем случае: S=√(42*12*16*14)=√(6*7*2*6*16*2*7)=6*7*2*4=336см².
r=336/42=8см.
Ответ: r=8см.