Question

В правильном четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен альфа .Найдите объем пирамиды если ее высота равна h

Answer 1

Пусть H - середина CD.
CH = a/2, ∠CSH = α/2
ΔCSH: ∠H = 90° 
           tg(α/2) = (a/2)/k
           a/2 = k·tg(α/2)
OH = AD/2 = a/2 (средняя линия ΔACD)
ΔSOH: ∠O=90°
           (a/2)² = k² - h² по теореме Пифагора

a/2 = k·tg(α/2)
(a/2)² = k² - h²

(a/2)² = k² ·tg²(α/2)
(a/2)² = k² - h²

k² ·tg²(α/2) = k² - h²
k² - k² ·tg²(α/2) = h²
k²(1 - tg²(α/2)) = h²
k² = h² / (1 - tg²(α/2))

a² = 4k² - 4h²
a² = 4h² / (1 - tg²(α/2)) - 4h² =
= 4h²(1/ (1 - tg²(α/2)) - 1) = 4h²((1 - 1 + tg²(α/2))/ (1 - tg²(α/2)) =
=  4h²(tg²(α/2) )/ (1 - tg²(α/2)) - это площадь основания
V = 1/3 Sосн·h = 1/3 · 4h² · tg²(α/2) / (1 - tg²(α/2)) · h =
= 4h³ · tg²(α/2)/ (3(1 - tg²(α/2)))