Question

В параллелограмме ABCD биссектриса угла B пересекает сторону CD в точке T и прямую AD в точке M. Найдите периметр треугольника CBT, если АВ=21, BM=35, MD=9.

Answer 1

Треугольник АВМ равнобедренный, так как <ABM=<BMA (<BMA=<MBC как накрест лежащие при параллельных прямых АМ и ВС и секущей ВМ, а <MBC=<ABM так как ВМ - биссектриса <ABC - дано).
Тогда АМ=АВ=21 и АD=АМ-DM=21-9=12.
Так как АВСD - параллелограмм, то ВС=АD=12.
Треугольник ВСТ равнобедренный, так как <СВТ=<СТВ (<СТВ=<АВТ как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВТ, а <СВТ=<ABТ так как ВМ - биссектриса <ABC - дано).
Тогда СТ=ВС=12.
Треугольники СВТ и DTM подобны по двум углам (<DTM=<BTC как вертикальные, а <BCT=<TDM как внутренние накрест лежащие при параллельных ВС и АМ и секущей СD). Коэффициент их подобия равен ВС/DM=12/9=4/3. Значит ВТ/ТМ=4/3 или (ВМ-ТМ)/ТМ=4/3 или (35-ТМ)/ТМ=4/3.
Отсюда ТМ=105/7=15, а ВТ=35-15=20.
Тогда периметр треугольника СВТ равен ВС+СТ+ВТ=12+12+20=44.
Ответ: периметр треугольника СВТ=44.