Question

Окружность касается сторон треугольника, длины которых равны 9, 10 и 11. Найдите длину наибольшего из отрезков, на которые точка касания делит сторону, равную 10.

Answer 1

Пусть в треугольнике АВС стороны равны:
АВ (с) = 11, ВС (а) = 9 и АС (в) = 10,

Можно задачу решать так:
 - находим площадь по Герону: 
   S = √(р(р-а)(р-в)(р-с) = √(15*6*4*5) = √1800 = 30√2.
 - радиус вписанной окружности r = S/p = 30√2/15 = 2√2.
 - по теореме косинусов находим угол А:
   cos A = (b²+c²-а²)/(2bc) = 0,636364.
   A = arc cos  0,636364 =  0,881021 радиан = 50,4788°.
Тогда искомый отрезок от точки А до точки М (точка касания) равен:
АМ = r/tg(A/2) = 2√2/ 0,471405 =  6.

Но есть простое решение:
АМ = р - а = 15 - 9 = 6.