Question

В трапеции ABCD с основаниями BC и AD известно, что ∠A = 60 ◦ ,∠D = 30 ◦ , AD = 18, BC = 4. Найти AB.

Answer 1

Решается очень просто, просто нужно немножко подумать.Постараюсь объяснить!
из точки В к основанию АД опускаешь высоту, получается высота ВК.
из точки С опускаешь высоту к основанию АД, получается высота СМ.
ВСМК-прямоугольник, значит ВС=КМ=4. Из АД-КМ=18-4=14
АК=МД=14/2=7
В прямоугольном треугольнике, против угла 30 градусов, лежит катет равный половине гипотенузы.
В треугольнике АВК угол А 60 градусов(по условию), угол К 90 градусов(ВК высота), значит угол В=180-(90+60)=30
Катет АК лежит против угла В, то есть против угла 30 градусов, отсюда следует: АВ=2хАК=2х7=14

Answer 2

Используем свойства трапеции:

1. Сумма углов в трапеции равна 360°, поэтому ∠b = 180° - ∠a = 180° - 60° = 120°.

2. Углы, расположенные напротив друг друга, составляют дополнительные углы, поэтому ∠c = ∠a = 60° и ∠d = ∠b = 120°.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник adc. В нем ∠d = 90°, ∠a = 30° и ad = 18. Мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому ∠c = 180° - ∠d - ∠a = 180° - 90° - 30° = 60°. Также, используя теорему синусов в треугольнике adc, получим: ad/sin∠c = ac/sin∠d. Подставим известные значения: 18/sin60° = ac/sin120°. Решим это уравнение относительно ac: ac = (18*sin120°)/sin60° = (18*√3)/√3 = 18.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник abc. В нем ∠c = 90° и ac = 18. Также, с помощью теоремы Пифагора, найдем ab: ab² = ac² + bc² = 18² + 4² = 324 + 16 = 340. Тогда ab = √340 = 2√85.

Итак, ab = 2√85.