Question

В параллелограмме ABCD AE - биссектриса угла А. Стороны параллелограмма АВ и ВС относятся как 4 : 9. АЕ пересекает диагональ BD в точке К. Найти отношение ВК : КD.можно только без теоремы синусов :с

Answer 1

Так как противолежащие стороны параллелограмма равны (BC=AD,AB=CD),
то AB/BC=AB/AD=4/9.
Рассмотрим треугольник ABD:
так как AK - биссектриса угла A, то BK/KD=AB/AD=4/9  (биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон).
Ответ: 4:9

Answer 2

Конечно, давай решим эту задачу без использования теоремы синусов.

Итак, у нас есть параллелограмм ABCD, где AE является биссектрисой угла A. Также известно, что отношение сторон AB и BC равно 4:9.

Давай начнем с того, что распишем отношения сторон параллелограмма через коэффициенты пропорциональности:

AB : BC = 4 : 9

Теперь давай воспользуемся свойством биссектрисы угла A. Оно утверждает, что точка пересечения биссектрисы с противоположной стороной параллелограмма делит её на отрезки, пропорциональные смежным сторонам параллелограмма. То есть:

AE / EC = AB / BC = 4 / 9

Теперь, учитывая, что стороны параллелограмма имеют отношение 4:9, мы можем представить AE и EC как 4x и 9x соответственно, где x - это некоторый коэффициент.

Теперь, когда AE пересекает диагональ BD в точке K, мы можем обратиться к теореме о подобных треугольниках в треугольниках AKB и EKC, так как мы знаем, что AE является биссектрисой угла A:

AK / KE = AB / EC = 4 / 9

Мы уже выразили EC через x (9x), так что можем подставить это значение:

AK / KE = 4 / 9

Теперь давай найдем отношение ВК : KD. Мы знаем, что точка K является точкой пересечения AE и BD. Так как мы выразили AK и KE через соответствующие отношения сторон, можем рассмотреть отношение BK : KD.

BK и KD образуют вместе отрезок BD, поэтому:

BK / KD = AK / KE = 4 / 9

Из этого следует, что отношение ВК : KD также равно 4 : 9.