Question

Помогите даны две различные прямые,пересекающиеся в точке А. Докажите, что все прямые, пересекающие обе данные прямые и не проходящие через точку А, лежат в одной плоскости

Answer 1

Через две пересекающиеся прямые можно провести ровно одну плоскость. Две прямые из условия лежат в некоторой плоскости a. Пусть третья прямая пересекает каждую из них и не проходит через точку A их пересечения. Тогда у третьей прямой есть хотя бы две общие точки с плоскостью a (как раз эти точки пересечения). Известно, что прямая, имеющая с плоскостью хотя бы две общие точки, лежит в этой плоскости. Тогда третья прямая также лежит в а. Следовательно, какую бы прямую, пересекающую две данные прямые и не проходящую через А мы ни выбрали, она будет целиком лежать в плоскости а, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения рассмотрим две данные прямые, обозначим их как l1 и l2, и точку их пересечения как А. Теперь предположим, что есть еще одна прямая, обозначим ее как l3, которая пересекает обе данные прямые, но не проходит через точку A.

Итак, у нас есть:

1. l1 и l2 - данные прямые, пересекающиеся в точке A. 2. l3 - прямая, пересекающая обе данные прямые, но не проходящая через точку A.

Теперь давайте рассмотрим случай, когда l3 пересекает l1. Поскольку l1 и l2 пересекаются в точке A, то l3 также должна пересекать l2 в этой точке. Таким образом, l3 пересекает обе данные прямые в точке A. Однако мы предположили, что l3 не проходит через точку A, что противоречит нашему предположению.

Теперь рассмотрим случай, когда l3 не пересекает l1. В этом случае, l3 пересекает l2 в точке A. Но, поскольку l1 и l2 пересекаются в точке A, l3 должна пересекать и l1 в этой точке. Опять же, это противоречит предположению, что l3 не пересекает l1.

Таким образом, мы пришли к выводу, что прямая l3 должна пересекать обе данные прямые l1 и l2. Следовательно, все прямые, пересекающие обе данные прямые и не проходящие через точку A, лежат в одной плоскости.

Это доказывается на основе аксиом геометрии и свойств пересекающихся прямых в трехмерном пространстве.