Question

В прямоугольнике АВСD ВЕ перпендикулярно АС, АЕ:ЕС=1:3. Найдите углы, которые составляют со сторонами прямоугольника его диагональ.

Answer 1

Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника равна квадратному корню из произведения отрезков, на которые она делит гипотенузу = > CE = квадратный корень из (Х*3Х) =  Х *  корень из 3 . Треугольник BEC: Теорема Пифагора: BC = квадратный корень из (9X*X + 3 X*X) =  X * квадратный корень из 12 = X * 2 * корень из 3 => в BEC BC = 2 BE = > нужный нам угол BCA = 30. Треугольник BEA: теорема Пифагора: AB = 2X => AB = 2 AE = > угол АВЕ = 30, а нужный нам угол BAE  = 180 - 30 - 90 = 60.

Answer 2

Чтобы найти углы, которые составляют с диагональю прямоугольника его стороны, нам нужно воспользоваться свойствами прямоугольника и пропорцией, заданной в условии.

Поскольку ВЕ перпендикулярно АС, АЕ и ЕС, образуемыми с диагональю ВЕ, также являются прямыми углами. Пусть АЕ = x, тогда ЕС = 3x (в соответствии с заданной пропорцией).

Обозначим угол между АЕ и прямой, проведенной через диагональ ВЕ, как α, а угол между прямой ЕС и диагональю ВЕ - как β.

Из свойств прямоугольника следует, что углы АЕВ и ВЕС являются прямыми углами, а значит, их сумма равна 180°.

Угол АЕВ состоит из угла между АЕ и диагональю ВЕ (угол α) и угла, составленного стороной прямоугольника и диагональю (90°).

Таким образом, угол α равен (90° - α).

Угол ВЕС состоит из угла между диагональю ВЕ и прямой ЕС (угол β) и угла, составленного стороной прямоугольника и диагональю (90°).

Таким образом, угол β равен (90° - β).

Сумма углов в треугольнике АЕВ равна 180°, поэтому:

(90° - α) + 90° + α = 180°, 180° - α + 90° + α = 180°, 270° = 180°,

Это противоречие, поэтому в прямоугольнике АВСd ВЕ не может быть перпендикулярно АС и АЕ в пропорции 1:3.

Будьте внимательны при формулировке и проверке задач!