Question

Даны координаты трёх вершин параллелограмма ABCD: A(-6;-4;0) B(6;-6;2) C(10;0;4). Найдите координаты точки D и угол между векторами AC и BD.

Answer 1

А) Каждая сторона параллелограмма является параллельным переносом противолежащей стороны. При параллельном переносе отрезка в пространстве, каждая его произвольная точка (x; y; z) переходит в точку с координатами (x + a; y + b; z + c)

Найдем числа a, b, c в случае параллельного переноса отрезка AB в отрезок CD.

Для этого рассмотрим параллельный перенос точки B в точку C:
(6 + a; -6 + b; 2 + c) = (10; 0; 4)

Соответственно: a = 10 – 6 = 4; b = 0 – (-6) = 6; c = 4 – 2 = 2

Аналогично рассмотрим параллельный перенос точки A в точку D:
(-6 + a; -4 + b; 0 + c) = (-6 + 4; -4 + 6; 0 + 2) = (-2; 2; 2)

Следовательно, координаты точки D (-2; 2; 2)

б) Координатами вектора AC будут: 10 – (-6) = 16, 0 – (-4) = 4, 4 – 0 = 4;
|AC| = sqrt(16^2 + 4^2 + 4^2)

|AC| = sqrt(288)

Координатами вектора BD будут: -2 – 6 = -8, 2 – (-6) = 8, 2 – 2 = 0;
|BD| = sqrt((-8)^2 + 8^2 + 0^2)

|BD| = sqrt(128)

Значит, cos a = AC*BD : |AC|*|BD| = (16*(-8) + 4*8 + 4*0): sqrt(128) * sqrt(288) =
-96 : 192 = -0,5

Следовательно, угол равен 120*

Answer 2

Для нахождения координат точки D можно использовать свойство параллелограмма, сумма координат противоположных вершин равна. Так как A и C являются противоположными вершинами, а B и D - также противоположными вершинами, то можно записать систему уравнений:

A + C = B + D

(-6, -4, 0) + (10, 0, 4) = (6, -6, 2) + D

(4, -4, 4) = (6, -6, 2) + D

D = (4, -4, 4) - (6, -6, 2)

D = (-2, 2, 2)

Таким образом, координаты точки D равны (-2, 2, 2).

Для нахождения угла между векторами AC и BD нам необходимо найти их скалярное произведение и подставить его в формулу:

cos(θ) = (AC * BD) / (|AC| * |BD|)

где AC и BD - векторы, "*" - скалярное произведение векторов, "|" - модуль вектора.

Вектор AC можно найти, вычислив разность координат конечной и начальной точек:

AC = C - A = (10, 0, 4) - (-6, -4, 0) = (10 + 6, 0 + 4, 4 - 0) = (16, 4, 4)

Вектор BD можно найти, вычислив разность координат конечной и начальной точек:

BD = D - B = (-2, 2, 2) - (6, -6, 2) = (-2 - 6, 2 + 6, 2 - 2) = (-8, 8, 0)

Теперь найдём скалярное произведение векторов AC и BD:

AC * BD = (16 * -8) + (4 * 8) + (4 * 0) = -128 + 32 + 0 = -96

Теперь найдём модули векторов AC и BD:

|AC| = √(16^2 + 4^2 + 4^2) = √(256 + 16 + 16) = √(288) ≈ 16.97 |BD| = √((-8)^2 + 8^2 + 0^2) = √(64 + 64 + 0) = √(128) ≈ 11.31

Теперь вычислим угол θ с помощью формулы:

cos(θ) = (-96) / (16.97 * 11.31)

θ = arccos((-96) / (16.97 * 11.31))

θ ≈ arccos(-0.478) ≈ 120.62° (в радианах ≈ 2.10)

Таким образом, угол между векторами AC и BD составляет примерно 120.62° (или около 2.10 радиан).