Question

В треугольнике MNK MN = NK. Точки А, В и С - середины сторон МК, MN и NК соответственно. Докажите что угол (знак) MBA = углу (знак) KCA.

Answer 1

Не совсем понятно, для чего дан именно равнобедренный треугольник .   При данном расположении точек, делящих стороны на две равные части, в любом треугольнике, не только равнобедренном, верно равенство ∠ MBA = ∠ KCA 
Решение:
В на MN,
C на NK 
А на МК -делят стороны треугольника на равные части ( пополам) и потому 
АВ и АС - средние линии этого треугольника.
 Отсюда следует их параллельность соответственным сторонам. 
Из равенства углов, образованных  при параллельных прямых секущей,
следует, что
∠ МВА=∠МNK 
∠ACK=∠MNК
.Если два угла по отдельности равны третьему - они равны между собой. 
∠ MBA = ∠ KCA, что и требовалось доказать.
 См. рисунки. Рисунок 1 - по условию. 
Рисунок 2 - как иллюстрация решения для любого треугольника. 

Answer 2

Для начала заметим, что по условию треугольника MNK имеет равные стороны MN и NK. Это означает, что треугольник MNK является равнобедренным.

Также по условию точки А, В и С являются серединами сторон МК, MN и NК соответственно. Это означает, что отрезки АВ и СВ являются медианами треугольника MNK.

Медианы треугольника делятся друг на друга пополам. То есть, отрезок АВ делит отрезок СВ пополам. Обозначим точку пересечения отрезков АВ и СВ как D.

Так как АВ и СВ являются медианами, то точка D является точкой пересечения медиан треугольника MNK. Следовательно, точка D является центром тяжести треугольника MNK.

Так как треугольник MNK является равнобедренным, то точка D лежит на высоте, проведенной из вершины М. Это означает, что угол МDA является прямым углом.

Также заметим, что угол МВА является углом при основании равнобедренного треугольника МАВ. Аналогично, угол КСА является углом при основании равнобедренного треугольника СКА.

Так как точка D является центром тяжести треугольника MNK, то отрезок MD делит угол М в отношении 2:1, а отрезок DK делит угол К в отношении 2:1.

Из этого следует, что угол МDA = 90°/3 = 30°, и угол КDA = 90°/3 = 30°.

Так как отрезок АВ делит отрезок СВ пополам, то угол МВА = угол КСА.

Таким образом, мы доказали, что угол МВА равен углу КСА.