Question

Найдите объем пирамиды, в основании которой лежит параллелограмм с диагоналями 4 и 2 корень из 3, если угол между ними 30 градусов, а высота пирамиды равна меньшей стороне основания

Answer 1

ABCD - параллелограмм, лежащий в основании пирамиды ABCDE.

Диагонали параллелограмма AC и BD пересекаются в точке О и этой точкой делятся пополам, т.е. AO = OC = 2, BO = OD = корень из 3.

Из треугольника AOB по теореме косинусов:

 

AB = CD - меньшая строна параллелограмма, т.к. лежит против меньшего угла (угол AOB = 30⁰, угол BOC = 150⁰). То есть высота пирамиды OE = 1.

Площадь основания (параллелограмма):

 

Объём пирамиды:

 

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для вычисления объема пирамиды:

V = (1/3) * S * h,

где V - объем пирамиды, S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Дано, что основание пирамиды - параллелограмм с диагоналями 4 и 2√3, угол между диагоналями составляет 30 градусов, и высота пирамиды равна меньшей стороне основания.

Сначала найдем площадь основания пирамиды. Для этого воспользуемся формулой для площади параллелограмма:

S = a * h,

где a - длина основания параллелограмма (меньшая диагональ), h - высота параллелограмма, которая равна расстоянию между сторонами параллелограмма, опущенной из вершины, противолежащей большей диагонали.

Так как у нас угол между диагоналями равен 30 градусам, то мы можем использовать геометрическое свойство параллелограмма о том, что высота параллелограмма равна расстоянию между сторонами параллелограмма, опущенной из вершины, противолежащей большей диагонали.

Таким образом, высота параллелограмма и высота пирамиды равны, поэтому высота параллелограмма равна меньшей стороне основания.

Пусть длина меньшей диагонали параллелограмма равна a, тогда высота параллелограмма и пирамиды также равна a.

Теперь, чтобы найти площадь основания пирамиды, нужно найти a.

Формула для расчета длины меньшей диагонали параллелограмма:

a = 2 * L1 * sin(угол между диагоналями / 2),

где L1 - длина большей диагонали параллелограмма.

Подставляя известные значения в формулу, получим:

a = 2 * 4 * sin(30 / 2) = 4 * sin(15).

Теперь у нас есть значение a, которое является длиной меньшей диагонали параллелограмма, а также высоты пирамиды и основания параллелограмма.

Теперь мы можем вычислить объем пирамиды, подставляя известные значения в формулу:

V = (1/3) * S * h = (1/3) * (4 * sin(15)) * (4 * sin(15)) * (4 * sin(15)).

Таким образом, объем пирамиды равен (1/3) * (4 * sin(15)) * (4 * sin(15)) * (4 * sin(15)).