Question

Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а ее апофема образует с высотой основания угол 45 градусов. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Answer 1

Находим апофему, периметр квадрата и подставляем в формулу$S= 1/2pa$

Answer 2

Для решения задачи обратимся к основным свойствам правильной четырехугольной пирамиды.

Правильная четырехугольная пирамида имеет основание в форме квадрата и все боковые грани равны между собой.

Из условия известно, что высота пирамиды равна 4 см, а апофема (расстояние от вершины пирамиды до центра основания) образует с высотой основания угол 45 градусов.

Для решения задачи нам понадобится найти длину ребра пирамиды и площадь одной из боковых граней.

Для начала найдем длину ребра пирамиды. Для этого построим прямоугольный треугольник ABC, где AB - высота пирамиды, BC - расстояние от вершины пирамиды до центра основания (апофема), AC - половина стороны основания.

Так как апофема образует с высотой угол 45 градусов, получаем прямоугольный треугольник. Также по условию длина высоты пирамиды равна 4 см.

Используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, можно найти длину ребра пирамиды: tg(45 градусов) = AB/BC tg(45 градусов) = 4/AC 1 = 4/AC AC = 4

Так как AC = половина стороны основания, сторона основания равна 2*AC = 2*4 = 8 см.

Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Поскольку пирамида правильная, то любая ее боковая грань - равносторонний треугольник со стороной, равной длине ребра пирамиды (8 см).

Площадь боковой поверхности пирамиды равна площади одной боковой грани, умноженной на количество этих граней. Так как пирамида имеет 4 боковые грани, площадь боковой поверхности равна: Повб = Sбок * Кгр, где Повб - площадь боковой поверхности пирамиды, Sбок - площадь одной боковой грани, Кгр - количество боковых граней.

Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле: Sтр = (a^2 * √3) / 4, где a - длина стороны треугольника.

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна: Повб = Sбок * Кгр = Sтр * Кгр.

Подставим известные значения в формулу: Повб = (a^2 * √3) / 4 * Кгр = (8^2 * √3) / 4 * 4 = (64 * √3) / 16 * 4 = (16 * √3) * 4 / 4 = 16 * √3.

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна 16 * √3 квадратных сантиметров.