Question

Через точку C проведены касательные к окружности с центром О, M и N точки касания найдите радиус окружности, если угол MCN равен 60, CM=12

Answer 1

есть точка С..проведем 2 касательны СМ и СN..

СМ = СN = 12

проведем отрезок СО который делит угол 60 пополам(это доказано, да и я доказал), получится прямоугольный треугольник ОМС..так как в точке касания  угол равен 90 градусов..

R лежит напротив угла в 30 градусов, тогда гипотенуза СО = 2R

по теореме пифагора найдем: 4R² = R² + 144, R = 4√3

 

 

Answer 2

Пусть радиус окружности равен r.

Так как m и n - точки касания, то они лежат на касательных, и поэтому радиус, проведенный из центра окружности к точке касания, перпендикулярен касательной. То есть, треугольник mOC - остроугольный.

Также из условия задачи известно, что угол mCN равен 60°, а CM = 12.

Так как треугольник ОCM - остроугольный, мы можем использовать теорему синусов:

sin(CMO) = MC / MO

Это можно переписать как:

sin(60°) = 12 / r

Так как sin(60°) = √3/2, мы можем решить уравнение:

√3/2 = 12 / r

Умножим обе стороны на r, чтобы избавиться от знаменателя:

√3 * r / 2 = 12

Умножим обе стороны на 2 / √3, чтобы избавиться от √3 в числителе:

r = 12 * 2 / √3

Рационализуем знаменатель, умножив и числитель и знаменатель на √3:

r = 12 * 2 * √3 / 3

r = 24 * √3 / 3

r = 8 * √3

Таким образом, радиус окружности равен 8 * √3.