Question

К (-2;1), L (3;6), M (7;-2).Найдите точки пересечения окружности, построенной на KL как на диаметре с прямыми KM и LM.

Answer 1

Диаметр IKLI = 5√2; середина KL - центр окружности (1/2, 7/2);
Уравнение окружности 
(x - 1/2)^2 + (y - 7/2)^2 = 50/4; 
уравнения прямых 
ML: (x - 7)/(3 - 7) = (y + 2)/(6 + 2); y + 2x - 12 = 0;
KM: (x - 7)/(-2 - 7) = (y + 2)/(1 + 2); x +3y - 1 = 0;
Точка пересечения ML с окружностью - подставляю
y = 12 - 2x; в уравнение окружности
(x - 1/2)^2 + (17/2 - 2x)^2 = 50/4; или x^2 - 7x + 12 = 0;  (x - 3)*(x - 4) = 0;
как и должно быть, x = 3 - решение.
Вторая точка пересечения ML с окружностью x = 4; y = 12 - 8 = 4;
Точка пересечения KM с окружностью - подставляю 
x = 1 - 3y; в уравнение окружности
(1/2 - 3y)^2 + (y - 7/2)^2 = 50/4; или y*(y - 1) = 0;
как и должно быть, y = 1 - решение. 
Вторая точка пересечения KM с окружностью y = 0; x = 1;

Answer 2

Для начала найдем уравнение прямой km.

Так как мы знаем две точки на этой прямой (к(-2;1) и м(7;-2)), то можем использовать формулу нахождения уравнения прямой через две точки:

(y - y1) * (x2 - x1) = (x - x1) * (y2 - y1),

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек на прямой.

Подставляя значения координат точек к и м в формулу, получим:

(y - 1) * (7 - (-2)) = (x + 2) * (-2 - 1).

Раскрываем скобки:

9y - 9 = -3x - 6.

Переносим переменные в левую часть уравнения:

3x + 9y = -6 + 9.

Сокращаем:

x + 3y = 1.

Теперь найдем уравнение прямой lm.

Также используя формулу нахождения уравнения прямой через две точки, подставим координаты точек l (3;6) и м (7;-2):

(y - 6) * (7 - 3) = (x - 3) * (-2 - 6).

Раскрываем скобки:

4y - 24 = -8x + 24.

Переносим переменные в левую часть уравнения:

8x + 4y = -48 + 24.

Сокращаем:

2x + y = -6.

Так как наша окружность построена на диаметре kl и проходит через точки k и l, координаты центра окружности будут равны среднему арифметическому координат этих точек:

xкл = (хк + хл) / 2 = (-2 + 3) / 2 = 1 / 2 = 0.5, yкл = (yk + yл) / 2 = (1 + 6) / 2 = 7 / 2 = 3.5.

Радиус окружности будет равен половине длины отрезка kl:

rкл = √((хл - хк)^2 + (ул - ук)^2) / 2 = √((3 - (-2))^2 + (6 - 1)^2) / 2 = √(5^2 + 5^2) / 2 = √(50) / 2 = 5 / 2 = 2.5.

Теперь найдем точки пересечения окружности с прямыми km и lm.

Для прямой km подставим уравнение этой прямой в уравнение окружности:

x^2 + y^2 - 2x - 3y + 6 = 0.

Подставим уравнение прямой lm в уравнение окружности:

x^2 + y^2 - 5x - 7y + 34 = 0.

Решив эти два уравнения системой уравнений, найдем координаты точек пересечения окружности с прямыми:

x = 1.44, y = 4.39; x = 3, y = 6.