Question

Задача: В четырёхугольник авсд вписана окружность с центром в точке о Найти величину угла aob если величина угла cod равна 94

Answer 1

Точки e,f,g,h - точки касания вписанной окружности со сторонами четырехугольника.
<cod=<cog+<god=94° (дано). <cog=0,5*<fog, <dog=0,5*hog (свойство угла между двумя касательными к окружности из одной точки - co и do являются биссектрисами углов <fog и <goh).
Значит <hof=94*2=188° (опирается на дугу hgf).
Тогда <hof (опирающийся на дугу hef) равен 360°-188°=172°.
Этот угол равен 2*<aoe+2*<eob или 2*(<aoe+<eob) по указанному выше свойству.
Но <aoe+<eob=<aob. Тогда <aob=172:2=86°.
Ответ: <aob=86°.

Answer 2

Вот решение задачи:

Пусть точки A, B, C и D касаются окружности с центром O в точках E, F, G и H соответственно. Тогда, по свойству касательных к окружности, AE = AD, BF = BD, CG = CA и DH = DC. Следовательно, AB = AE + BF = AD + BD = CD, и аналогично, BC = CG + GH = CA + DA = AD. Значит, четырехугольник ABCD является равнобоким трапецием.

По теореме о сумме углов в четырехугольнике, ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°. Так как ∠COD = 94°, то ∠AOD = 360° - 94° = 266°. По свойству вписанного угла, ∠AOB = 1/2 ∠AOD = 1/2 · 266° = 133°. Ответ: 133°.