Question

Ромб АВСД согнули до диагонали ВД так,что угол между плоскостями АВД и ВСД равен 30 градусов,найти расстояние АС,если ВД=32см,а периметр 80см.

Answer 1

Ромб - это параллелограмм с равными сторонами, значит каждая его сторона равна по 80см/4=20см
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. В итоге, в каждой из плоскостей ABD и BCD находится по два равных прямоугольных треугольника.
Если Н -  точка пересечения диагоналей, то:
$BH= \frac{BD}{2} = \frac{32sm}{2} =16sm$
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВН. По теореме Пифагора:
$AH= \sqrt{AB^2-BH^2} \\\ AH= \sqrt{(20sm)^2-(16sm)^2} =12sm$
Рассмотрим треугольник АНС. Заданный угол между плоскостями равен углу между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей в этих плоскостях. В данном случае этими перпендикулярами являются отрезки диагонали АН и СН, а угол АНС равен 30 градусов. По теореме косинусов:
$AC= \sqrt{AH^2+HC^2-2\cdotAC\cdot HC\cdot \cos AHC} \\\ AC= \sqrt{12^2+12^2-2\cdot12\cdot 12\cdot \cos 30} =12 \sqrt{2-2\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} } =12\sqrt{2- \sqrt{3} }$
Ответ: $12\sqrt{2- \sqrt{3} }$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства ромба и применить тригонометрию, так как у нас есть угол между плоскостями.

1. Рассмотрим ромб ABCD, где AC - диагональ ромба, AD и BC - стороны ромба.

2. Поскольку угол между плоскостями AVD и VCD равен 30 градусов, то у нас есть равенство:

\[ \angle AVD = \angle VCD = 30^\circ \]

3. Рассмотрим треугольник AVD. Так как угол VAD равен 30 градусов, у нас есть:

\[ \tan(30^\circ) = \frac{AD}{AV} \]

4. Рассмотрим треугольник VCD. Так как угол VCD равен 30 градусов, у нас есть:

\[ \tan(30^\circ) = \frac{CD}{VC} \]

5. Так как CD равно AD (по свойству ромба), обозначим их как \(a\). Также обозначим VC как \(b\). Тогда:

\[ \tan(30^\circ) = \frac{a}{AV} \] \[ \tan(30^\circ) = \frac{a}{b} \]

6. Из уравнения (2) мы можем выразить \(b\):

\[ b = \frac{a}{\tan(30^\circ)} \]

7. Теперь рассмотрим стороны ромба AD и BC. Периметр ромба равен 80 см, поэтому:

\[ AD + BC + CD + DA = 80 \]

Подставим значения:

\[ a + BC + a + a = 80 \] \[ BC = 80 - 3a \]

8. Теперь мы можем выразить BC через \(a\) и подставить в уравнение (6):

\[ \frac{a}{\tan(30^\circ)} = 80 - 3a \]

Решим это уравнение относительно \(a\).

9. После того, как найдем \(a\), мы можем использовать уравнение (5), чтобы найти \(b\).

10. Итак, когда найдены \(a\) и \(b\), расстояние AC равно \(2a\).

Этот метод позволяет нам использовать свойства ромба и тригонометрию для нахождения неизвестных значений.