Question

1. В тетраэдре ABCD точки M и N - середины отрезков AB и BC. докажите, что прямые AB, HM и DC параллельны одной плоскости.

Answer 1

Решение
MK - средняя линия тр-ка ABD и по теореме о средней линии
MK || AD
аналогично
МР|| АС
Теорема ( признак параллельности плоскостей)
Если две пересекающие прямые МК и МР одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым AD и АС другой плоскости, то эти плоскости параллельны, то есть
(MKP) || (ACD)

Answer 2

Для доказательства параллельности прямых AB, HM и DC в тетраэдре ABCD, где M и N - середины отрезков AB и BC, нам понадобится использовать свойства серединных перпендикуляров и параллельных прямых в трехмерном пространстве.

Свойство серединных перпендикуляров

Если в трехмерном пространстве отрезок AB имеет середину M, а отрезок CD имеет середину N, и отрезки AB и CD перпендикулярны, то прямые AB и CD параллельны.

Доказательство

1. По условию, точки M и N являются серединами отрезков AB и BC соответственно. То есть, AM = MB и BN = NC. 2. Рассмотрим треугольник ABC. Так как M и N - середины сторон AB и BC, соответственно, то отрезки AM и BN также являются медианами этого треугольника. 3. Из свойств медиан треугольника следует, что AM и BN пересекаются в точке H, такой что HM = MH и HN = NB. 4. Рассмотрим треугольник AMH. Так как HM = MH, то точка H - середина стороны AM. 5. Аналогично, рассмотрим треугольник BNC. Так как HN = NB, то точка H - середина стороны NC. 6. Таким образом, точка H является и серединой стороны AM, и серединой стороны NC, что говорит о том, что прямая HM параллельна прямой DC. 7. Также, из свойства серединных перпендикуляров следует, что прямые AB и HM параллельны. 8. Таким образом, прямые AB, HM и DC являются параллельными.

Таким образом, мы доказали, что прямые AB, HM и DC параллельны одной плоскости.