Question

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 105 градусов, угол ADB равен 40 градусов. Найдите градусную меру угла ВАС.

Answer 1

Всё указано на рисунке(по теореме о сумме углов 4 угольника противолежащие углы равны 180гр)

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство центрального угла, образованного двумя хордами внутри окружности. В данном случае четырехугольник ABCD вписан в окружность.

1. Угол BAC равен половине центрального угла, образованного хордой BC. Так как угол BAC является внешним углом треугольника ABC, то:

\[ \angle BAC = 180^\circ - \angle ABC \]

2. Угол BDC также равен половине центрального угла, образованного хордой BC. Так как угол BDC является внешним углом треугольника BCD, то:

\[ \angle BDC = 180^\circ - \angle BCD \]

3. Сумма углов в четырехугольнике ABCD равна \(360^\circ\):

\[ \angle BAC + \angle ABC + \angle BCD + \angle CDA = 360^\circ \]

Подставим значения:

\[ (180^\circ - \angle ABC) + \angle ABC + (180^\circ - \angle BCD) + 105^\circ = 360^\circ \]

Упростим выражение:

\[ 465^\circ - (\angle ABC + \angle BCD) = 360^\circ \]

\[ \angle ABC + \angle BCD = 105^\circ \]

4. Теперь мы можем выразить \(\angle BCD\) через угол ADB:

\[ \angle BCD = 180^\circ - \angle ADB \]

Подставим это значение в уравнение:

\[ \angle ABC + (180^\circ - \angle ADB) = 105^\circ \]

\[ \angle ABC - \angle ADB = -75^\circ \]

5. Теперь найдем угол BAC:

\[ \angle BAC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - (-75^\circ + \angle ADB) \]

\[ \angle BAC = 255^\circ - \angle ADB \]

6. Так как угол BAC равен половине центрального угла, образованного хордой BC, то:

\[ \angle BAC = \frac{\angle BOC}{2} \]

где \(\angle BOC\) - центральный угол, соответствующий хорде BC.

Таким образом,

\[ \angle BOC = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot (255^\circ - \angle ADB) \]

\[ \angle BOC = 510^\circ - 2 \cdot \angle ADB \]

7. Угол ВАС равен половине центрального угла, образованного хордой BD:

\[ \angle ВАС = \frac{\angle BOD}{2} \]

где \(\angle BOD\) - центральный угол, соответствующий хорде BD.

Так как угол ВАС внешний угол треугольника ABD, то:

\[ \angle BOD = \angle ADB + \angle BCD \]

\[ \angle ВАС = \frac{\angle ADB + \angle BCD}{2} \]

Подставим значения:

\[ \angle ВАС = \frac{\angle ADB + (180^\circ - \angle ADB)}{2} \]

\[ \angle ВАС = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ \]

Таким образом, градусная мера угла ВАС равна 90 градусов.