Question

Около прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой AB описана окружность. Расстояние от точки A до касательной, проходящей через точку C, в три раза меньше расстояния от точки B до тойжекасательной.Чему равен угол ABC?

Answer 1

Давай попробуем рассуждать логически.

Во-первых, заметим, что раз касательная касается окружности в точке С, то радиус, проведённый из С будет перпендикулярен касательной. Соответственно, радиус имеет длину R. 

Обозначим проекции точек А и В на касательную соответственно А1 и В1. Тогда в прямоугольной трапеции А А1 В1 В внезапно обнаружим, что ОС является средней линией, потому что ОА = R, и ОВ также равно R. Раз такое дело, то радиус R является средним арифметическим оснований трапеции. Допустим, меньшее основание А А1 имеет длину х, тогда радиус R=2х, и большее основание В В1 = 3х.

Следовательно, продолжая гипотенузу АВ и касательную до пересечения (назовём точку пересечения буквой М)  увидим, что АМ=R.

Далее применим теорему о секущей, которая  скажет, что МС^2 = МА * МВ = R * 3R = 3*R^2. Отсюда МС = R * корень(3), то есть отношение МС/R = корень(3). По ходу, полученное отношение является тангенсом угла МОС, ибо угол МСО прямой. А тангенс какого угла равен корню(3) ? -- это угол 60 градусов, как нам известно из таблиц Брадиса.

Осталось последнее действие - заметить, что искомый угол В составляет половину от МОС, т.к.они опираются на одну и ту же дугу АС, но при этом АОС центральный, а В вписанный.

Итого, ответ: угол АВС = 60 / 2 = 30 градусов.

Ну, у меня так получилось.Лучше проверь за мной.

Answer 2

Пусть O - центр описанной окружности, а M - середина гипотенузы AB. Также пусть D - точка касания окружности и касательной, проходящей через C.

Так как гипотенуза AB лежит на диаметре окружности, то угол ABC является прямым углом, то есть ABC = 90 градусов.

Теперь обратим внимание на треугольник ADB и AMC. Оба эти треугольника подобны треугольнику ABC (по признаку угловой схожести, так как оба имеют прямой угол).

Из условия известно, что расстояние от A до касательной в три раза меньше, чем расстояние от B до этой же касательной. То есть, AM = 3 * BM.

Теперь рассмотрим отношения сторон в подобных треугольниках:

\[ \frac{AM}{AB} = \frac{BM}{BC} \]

Подставим AM = 3 * BM:

\[ \frac{3 \cdot BM}{AB} = \frac{BM}{BC} \]

Упростим:

\[ \frac{3}{AB} = \frac{1}{BC} \]

Отсюда следует, что \( BC = 3 \cdot AB \).

Таким образом, в треугольнике ABC сторона BC равна 3 * AB. Из этого следует, что угол ABC против большей стороны BC также утроенный. Так как угол ABC равен 90 градусам, то утроенный угол равен 3 * 90 = 270 градусов.

Таким образом, угол ABC равен 270 градусам.