Question

На стороне АВ треугольника АВС взята точка Д так, что окружность, проходящая через точки А, С и Д, касается прямой ВС. Найдите АД, если АС = 12, ВС = 18, СД = 8.

Answer 1

Сделаем рисунок. 

Рассмотрим ∆ ВСД и ∆ ВСА. 

ВС - касательная, СД - хорда, ∠САД- вписанный. 

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами. 

Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую опирается. ⇒

 ∠ВСД=∠САВ - опираются на дугу СД. 

1) В ∆ ВСА и Δ ВСД угол В общий.⇒ Они подобны по равенству двух углов. 

Из подобия следует отношение АВ:18=СА:СД

АВ:18=12:8=3:2

2АВ=54

АВ=27

2) Если из одной точки  проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.

ВС - касательная, ВА - секущая. ВД - внешняя часть секущей.--

ВА•ВД=ВС²

Пусть АД=х, тогда ВД=27-х

27•(27-х)=324

729-27х=324⇒

27х=405

АД=х=15 (ед. длины)

Answer 2

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся свойством касательной окружности: если окружность, проходящая через точки A, C и D, касается прямой ВС, то угол ADC является прямым углом.

Мы можем использовать этот факт, чтобы найти длину отрезка AD. Для этого мы можем воспользоваться теоремой Пифагора в треугольнике ADC.

Длина отрезка АС равна 12, длина отрезка ВС равна 18, а длина отрезка СД равна 8.

По свойству касательной окружности угол ADC является прямым углом, поэтому мы можем использовать теорему Пифагора:

AC^2 = AD^2 + CD^2

Подставим известные значения:

12^2 = AD^2 + 8^2

Решим это уравнение:

144 = AD^2 + 64

AD^2 = 144 - 64

AD^2 = 80

AD = √80

AD = 8√5

Таким образом, длина отрезка AD равна 8√5.