Question

Через точку А проведены касательные АВ ( В - точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках P и Q. Докажите, что АВ в кв = АР*АQ.для этого знаю надо даказать, что треугольник АВР подобен треугольнику АQВ, а как доказать что угол Q =углу АВР

Answer 1

Треугольники АВР и АВQ подобны по двум углам уголА общий, угол Q = углу АВР они опираются на дугу ВР и равны 1/2 дуге ВР

АВ/АQ=АР/АВ, АВ в квадрате = АР х АQ  

 

 

Answer 2

Для доказательства, что треугольник АВР подобен треугольнику АQВ и угол Q равен углу АВР, мы можем использовать свойства касательных и свойства секущих.

Доказательство подобия треугольников АВР и АQВ:

1. Вспомним, что касательная к окружности в точке касания является перпендикуляром к радиусу, проведенному в эту точку. Таким образом, угол между касательной и радиусом равен 90 градусов. 2. В треугольнике АВР угол B равен 90 градусов, так как АВ - касательная к окружности АВ в точке В. 3. В треугольнике АQВ угол В также равен 90 градусов, так как АВ - касательная к окружности АВ в точке В. 4. Таким образом, углы B и В в треугольниках АВР и АQВ равны между собой и равны 90 градусов.

Доказательство равенства углов Q и АВР:

1. Пусть угол P равен углу АВР. 2. Так как углы P и В в треугольниках АВР и АQВ равны между собой, а угол В равен 90 градусов, то угол P также равен 90 градусов. 3. Угол Q является внутренним углом треугольника АQВ и также равен 90 градусов. 4. Таким образом, угол Q равен углу АВР.

Равенство сторон АВ и АР * АQ:

1. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике АВР: АВ² = АР² + РВ² Но угол В равен 90 градусов, поэтому РВ = 0. Таким образом, АВ² = АР². 2. В треугольнике АQВ сторона АВ является гипотенузой, а стороны АР и АQ являются катетами. 3. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике АQВ: АВ² = АР² + АQ². 4. Так как АВ² = АР² (из пункта 1), то АВ² = АР² = АР * АQ. Следовательно, АВ = АР * АQ.

Таким образом, мы доказали, что АВ в квадрате равно АР умножить на АQ и что треугольник АВР подобен треугольнику АQВ, а также угол Q равен углу АВР.