Question

Найдите площадь фигуры с условиями |x|+|y|≤2 и |y| ≥ |x|

Answer 1

Cм. рисунки в приложении
На рис. 1 синим цветом закрашена область, удовлетворяющая неравенству:|x|+|y|≤2Это квадрат с диагоналями 4 и со стороной 2√2
На рис. 2 красным цветом закрашена область,  удовлетворяющая двум неравенствам:
|x|+|y|≤2 и |y| ≥ |x|
Это два квадрата со стороной √2
S=2·(√2)²=4

Answer 2

Давайте разберемся с этими условиями поочередно.

Условие |x| + |y| ≤ 2 представляет собой область вокруг начала координат в виде квадрата с вершинами в точках (2, 0), (0, 2), (-2, 0) и (0, -2). Это условие ограничивает значения x и y так, что сумма их абсолютных значений не превышает 2.

Условие |y| ≥ |x| представляет собой область над и под линией y = x. Это условие ограничивает значения x и y так, чтобы абсолютное значение y было больше или равно абсолютному значению x.

Теперь объединим эти условия и найдем общую область. Для этого рассмотрим следующие случаи:

1. Первый квадрант (x ≥ 0, y ≥ 0): Условие |x| + |y| ≤ 2 ограничивает область кругом с радиусом 2, и условие |y| ≥ |x| добавляет к этому кругу верхнюю половину круга.

2. Второй квадрант (x < 0, y ≥ 0): Так как |x| + |y| = |-x| + |y|, то область остается такой же, как и в первом квадранте.

3. Третий квадрант (x < 0, y < 0): Область остается той же, что и в первом квадранте, из-за симметрии.

4. Четвертый квадрант (x ≥ 0, y < 0): Область остается той же, что и в первом квадранте, из-за симметрии.

Таким образом, общая область, удовлетворяющая обоим условиям, представляет собой симметричный относительно осей круг с радиусом 2 и верхнюю половину круга. Это можно представить как фигуру в форме половины круга с радиусом 2, находящуюся в первом и втором квадрантах.

Теперь найдем площадь этой фигуры. Площадь половины круга с радиусом r равна (1/2)πr^2. В данном случае, r = 2, поэтому площадь фигуры равна (1/2)π(2)^2 = 2π.