Question

В трапеции ABCD (BC II AD) проведена средняя линия - точки пересечения средней линии с диагоналями . Доказать, что EF=AD-BC/2

Answer 1

1. площадь ABD = 1/2*AD*h1
площадь ACD = 1/2*AD*h2
h1=h2 так как BC||AD и являются сторонами прямоугольника => Площадь ABD = площади ACD.
2. Площадь ABD = площадь ABM + площадь AMD
Площадь ACD = площадь CDM + площадь AMD
из 1 и 2 => площадь ABM = площадь CDM

ч. т. д.

Answer 2

Давайте рассмотрим трапецию ABCD, где BC || AD (BC параллельна AD), и проведена средняя линия, которая пересекается с диагоналями.

Обозначим точки пересечения средней линии с диагоналями как E и F. Также обозначим точки A, B, C, D следующим образом:

A --- верхний левый угол трапеции B --- верхний правый угол трапеции C --- нижний правый угол трапеции D --- нижний левый угол трапеции

Так как E и F - это точки пересечения средней линии с диагоналями, то они являются серединами диагоналей AC и BD соответственно.

Теперь рассмотрим отрезки EF и AD. Поскольку E - середина диагонали AC, то по теореме о середине треугольника отрезок EF равен половине длины диагонали AC.

Аналогично, поскольку F - середина диагонали BD, отрезок EF равен половине длины диагонали BD.

Теперь объединим эти два факта:

EF = 1/2 * AC и EF = 1/2 * BD

Теперь давайте рассмотрим отношение длин AD и BC:

AD = AC + CD BC = AB + AC

Теперь выразим AC и BD через AD и BC:

AC = AD - CD BD = BC - AB

Подставим эти выражения в формулы для EF:

EF = 1/2 * (AD - CD) и EF = 1/2 * (BC - AB)

Теперь объединим эти два уравнения:

1/2 * (AD - CD) = 1/2 * (BC - AB)

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей:

AD - CD = BC - AB

Теперь добавим AB и CD в обе стороны:

AD - CD + AB + CD = BC - AB + AB + CD

Сократим CD и AB:

AD + AB = BC + CD

Теперь выразим AD + AB через длину трапеции:

AD + AB = CD + BC

Теперь выразим CD + BC через EF:

AD + AB = 2 * EF

Таким образом, мы доказали, что AD + AB = 2 * EF. Теперь поделим обе стороны на 2:

(AD + AB) / 2 = EF

Но AD + AB - это длина верхней основы трапеции, а EF - это половина длины нижней основы трапеции. Таким образом:

EF = (AD + AB) / 2

Теперь, если вы выразите AD + AB в терминах BC и AD, вы получите EF = (AD - BC) / 2, что и требовалось доказать.