Question

Докажите что середины сторон ромба являются вершинами прямогольника

Answer 1

Рассмотрим ромб см.рис

В ромбе противоположные улы равны. Значит треугольники b-d и a-c равны соответственно. Отсюда противоположные стороны вписаного четырехугольника равны.

Эти треугольники ( b-d  и a-c) равнобедренные. Следовательно углы при катетах равны.

Теперь докажем что сумма углов c и d равна 90 град. 

Сумма углов ромба 2a+2b=360градусов или a+b=180

сумма углов в треугольнике b+2d=180 град и a+2c= 180град

выразим из последнего углы a и b

a=180-2c

b=180-2d

Подставим в первое уравнение

(180-2c)+(180-2d)=180

360-2c-2d=180 

360-180=2(c+d)

180/2=c+d

 c+d=90

Т.к развернутый угол равен 180 град, то оставшийся угол в четырехугольнике равен 180-(с+d)=90 град.

Значит вписан - прямоугольник. 

 

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, необходимо воспользоваться свойствами ромба и прямоугольника.

1. По свойству ромба, все его стороны равны между собой. Обозначим длину стороны ромба как "a".

2. По определению прямоугольника, противоположные стороны в нем равны и перпендикулярны друг другу. Обозначим длины сторон прямоугольника как "b" и "c".

3. Рассмотрим одну из сторон ромба. Пусть это будет сторона AB. По свойству ромба, она равна "a".

4. Найдем середину стороны AB и обозначим ее как точку M. По определению середины отрезка, точка M делит сторону AB пополам.

5. Так как сторона AB ромба равна "a", то отрезок AM также равен "a/2".

6. Рассмотрим прямоугольник, вершинами которого являются точки A, B, M и N (N - середина стороны BC ромба).

7. По построению, отрезок AM равен отрезку MN, так как оба отрезка делят соответствующие стороны ромба пополам. То есть, AM = MN = a/2.

8. Также, по определению прямоугольника, сторона BC равна стороне AM, то есть BC = AM = a/2.

9. Итак, мы получили, что сторона BC прямоугольника равна стороне AM ромба, а сторона AM равна стороне MN ромба.

10. Значит, по свойству прямоугольника, противоположные стороны AM и BC равны и перпендикулярны друг другу.

11. Аналогичные рассуждения можно провести для остальных сторон ромба и получить, что середины всех его сторон являются вершинами прямоугольника.

Таким образом, мы доказали, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.