Question

Докажите что основание равнобедренного треугольника равно биссектрисе одного из внешних углов.

Answer 1

Внешний угол треугольника = сумме двух углов, не смежных с ним. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен сумме двух углов при основании, а т.к. эти углы равны, то угол при основании равен половине внешнего угла при вершине (т.е., например, угла, образованного биссектрисой внешнего угла и боковой стороной треугольника). Это внутренние накрест лежащие углы при прямых: основании треугольника и биссектрисе внешнего угла при вершине. Так как эти углы равны, то прямые параллельны!

Answer 2

Для доказательства этого утверждения рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Пусть D — точка на продолжении стороны AB за точку B (так, чтобы BD = BC).

Теперь рассмотрим треугольник BDC. Так как BD = BC (по построению), и угол BCD является внешним углом равнобедренного треугольника ABC, то угол BCD также равен углу BAC.

Таким образом, у нас есть два равных угла: угол BAC и угол BCD. Значит, треугольники BAC и BCD подобны по двум углам (по признаку углов).

Теперь рассмотрим треугольники ABD и BCD. В них:

1. Угол ABD является внутренним углом треугольника ABC. 2. Угол CBD является внешним углом треугольника ABC, но также является углом BCD в треугольнике BCD (по равенству углов BCD и BAC).

Таким образом, у нас есть два равных угла: угол ABD и угол CBD. Из этого следует, что треугольники ABD и BCD подобны по двум углам (по признаку углов).

Из подобия треугольников ABD и BCD следует, что их соответствующие стороны пропорциональны.

Так как BD = BC (по построению), и треугольники подобны, то отношение сторон AB/BD = AC/BC.

Но по условию задачи AB = AC, следовательно, BD = BC.

Таким образом, BD = BC. И это означает, что основание равнобедренного треугольника (BD) равно биссектрисе одного из внешних углов (BC).