Question

Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите BC, если AB=34.

Answer 1

АК и ДК-биссектрисы в параллелограмме АВСД, уголВАК=уголКАД=1/2уголА, уголКАД=уголАКВ как внутренние разносторонние=уголВАК, треугольник АВК равнобедренный, АВ=ВК=34, АВ=СД=34, уголАДК=уголСДК=1/2уголД, уголАДК=уголДКС как внутренние разносторонние=уголСДК, треугольник КСД равнобедренный, СД=КС=34, ВС=ВК+КС=34+34=68

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами биссектрис в треугольнике. Давайте обозначим точку пересечения биссектрис угла A и D на стороне BC как точку E. Таким образом, мы имеем:

1. \(BE\) - половина стороны \(BC\), так как \(BE\) является биссектрисой угла \(A\). 2. \(CE\) - половина стороны \(CD\), так как \(CE\) является биссектрисой угла \(D\).

Исходя из условий задачи, точка \(E\) лежит на стороне \(BC\).

Теперь, у нас есть следующая система уравнений:

\[ \begin{cases} BE + CE = BC \\ BE = \frac{1}{2} BC \\ CE = \frac{1}{2} CD \end{cases} \]

Мы знаем, что \(CD = AB = 34\). Подставим это значение в уравнение для \(CE\):

\[CE = \frac{1}{2} \cdot 34 = 17\]

Теперь мы можем использовать это значение в системе уравнений:

\[ \begin{cases} BE + 17 = BC \\ BE = \frac{1}{2} BC \\ CE = 17 \end{cases} \]

Подставим второе уравнение в первое:

\[\frac{1}{2} BC + 17 = BC\]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[BC + 34 = 2 \cdot BC\]

Выразим \(BC\):

\[BC = 34\]

Таким образом, длина стороны \(BC\) равна 34.