Question

Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 служит прямоугольный треугольник ABC (<C=90 градусов), у которого AC = b и < A = a. Диагональ боковой грани B1C составляет с плоскостью AA1B1 угол a. Найдите объем призмы.

Answer 1

построим перпендикуляр СК на АВ ,обозначим h=b*sin α

B1K - проекция диагонали В1С на плоскость АА1В1 - угол СВ1К= α

диагональ В1С =h/sin α = b*sin α / sin α= b

катет СВ=b*tg α

H=BB1= √(B1C^2-CB^2)= √(b^2-(b*tg α)^2)=b √(1- (tg α)^2)

объем призмы V=Sосн*Н=1/2*АС*СВ*Н=1/2*b* b*tg α* b √(1- (tg α)^2)= 1/2*b^3*tg α√(1- (tg α)^2)

Ответ  1/2*b^3*tg α√(1- (tg α)^2)

возможна другая форма ответа

Answer 2

Для нахождения объема призмы нужно умножить площадь основания на высоту призмы.

Площадь основания прямоугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна произведению длин сторон прямоугольного треугольника ABC:

S_осн = AB * BC = b * (AC * sin(a)) = b * (b * sin(a)) = b^2 * sin(a)

Высоту призмы можно найти как длину диагонали боковой грани B1C, так как она перпендикулярна плоскости основания.

h = B1C = AC * cos(a) = b * cos(a)

Теперь можем найти объем призмы:

V = S_осн * h = (b^2 * sin(a)) * (b * cos(a)) = b^3 * sin(a) * cos(a)

Таким образом, объем призмы равен b^3 * sin(a) * cos(a).