Question

Вычеслите скалярное произведение векторов BA и BC если a=5 b=8 а угол между ними равен 60 градусов

Answer 1

A*b= [a]*[b]* cosα a*b= 25*64*1/2= 800

Answer 2

Для вычисления скалярного произведения векторов \( \mathbf{BA} \) и \( \mathbf{BC} \), мы используем следующую формулу:

\[ \mathbf{BA} \cdot \mathbf{BC} = |\mathbf{BA}| \cdot |\mathbf{BC}| \cdot \cos(\theta) \]

где \( |\mathbf{BA}| \) и \( |\mathbf{BC}| \) - длины векторов \( \mathbf{BA} \) и \( \mathbf{BC} \) соответственно, а \( \theta \) - угол между векторами.

В данном случае \( \mathbf{BA} = \mathbf{A} - \mathbf{B} \) и \( \mathbf{BC} = \mathbf{C} - \mathbf{B} \). При этом координаты точек \( \mathbf{A} \), \( \mathbf{B} \) и \( \mathbf{C} \) имеют вид:

\[ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_x \\ a_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix} \]

\[ \mathbf{B} = \begin{bmatrix} b_x \\ b_y \end{bmatrix} \]

\[ \mathbf{C} = \begin{bmatrix} c_x \\ c_y \end{bmatrix} \]

Теперь, для вычисления длин векторов \( |\mathbf{BA}| \) и \( |\mathbf{BC}| \), используем формулу для длины вектора:

\[ |\mathbf{V}| = \sqrt{V_x^2 + V_y^2} \]

где \( \mathbf{V} \) - вектор, а \( V_x \) и \( V_y \) - его координаты.

Таким образом, мы вычисляем:

\[ |\mathbf{BA}| = \sqrt{(a_x - b_x)^2 + (a_y - b_y)^2} \]

\[ |\mathbf{BC}| = \sqrt{(c_x - b_x)^2 + (c_y - b_y)^2} \]

Теперь, у нас есть все данные для вычисления скалярного произведения:

\[ \mathbf{BA} \cdot \mathbf{BC} = |\mathbf{BA}| \cdot |\mathbf{BC}| \cdot \cos(\theta) \]

где \( \cos(\theta) \) можно выразить через угол \( \theta \), который равен 60 градусам. В радианах этот угол равен \( \frac{\pi}{3} \).

Таким образом, \( \cos(\theta) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \).

Теперь подставим все значения в формулу:

\[ \mathbf{BA} \cdot \mathbf{BC} = |\mathbf{BA}| \cdot |\mathbf{BC}| \cdot \frac{1}{2} \]

Вычислим значения и получим ответ.