Question

45 БАЛЛОВ!!!ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О.Точки А1, В1, С1,D1 являются серединами отрезков AO,BO,CO и DO соотвественно. Докажите,что четырех угольник А1B1C1D1 также является параллелаграммом

Answer 1

Решение во вложенном файле

Answer 2

Для доказательства того, что четырехугольник \(A_1B_1C_1D_1\) является параллелограммом, давайте воспользуемся свойствами параллелограмма и используем данные о точках \(A_1, B_1, C_1, D_1\) как серединах отрезков.

Свойства параллелограмма: 1. Противоположные стороны равны. 2. Противоположные углы равны. 3. Диагонали делят параллелограмм на два равных треугольника.

Обозначим векторы как \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OC}\) и \(\overrightarrow{OD}\). Также введем векторы \(\overrightarrow{A_1} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{B_1} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{C_1} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}\) и \(\overrightarrow{D_1} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}\), так как точки \(A_1, B_1, C_1, D_1\) являются серединами соответствующих сторон параллелограмма \(ABCD\).

1. Противоположные стороны равны: \[\overrightarrow{A_1B_1} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.\] Аналогично докажем, что \(\overrightarrow{B_1C_1} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{C_1D_1} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CD}\) и \(\overrightarrow{D_1A_1} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DA}\).

Таким образом, \(\overrightarrow{A_1B_1} = \overrightarrow{C_1D_1}\) и \(\overrightarrow{B_1C_1} = \overrightarrow{D_1A_1}\).

2. Противоположные углы равны: Это следует из свойства 1 и того, что векторы \(\overrightarrow{A_1B_1}\) и \(\overrightarrow{C_1D_1}\) равны, а также векторы \(\overrightarrow{B_1C_1}\) и \(\overrightarrow{D_1A_1}\) равны.

3. Диагонали делят параллелограмм на два равных треугольника: Это также следует из свойства 1 и того, что векторы \(\overrightarrow{A_1B_1}\) и \(\overrightarrow{C_1D_1}\) равны, а также векторы \(\overrightarrow{B_1C_1}\) и \(\overrightarrow{D_1A_1}\) равны.

Таким образом, четырехугольник \(A_1B_1C_1D_1\) удовлетворяет всем свойствам параллелограмма, и, следовательно, он сам является параллелограммом.