Question

Довести що чотирикутник abcd з вершинами в A(-2;1)B(1;4)C(5;0)D(2;-3) э прямокутником

Answer 1

A(-2;1), B(1;4), C(5;0), D(2;-3)
1) Находим длины сторон и длины диагоналей четырехугольника по формуле:
d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²).
Длины сторон:
|AB|=√((1+2)²+(4-1)²)=√(3²+3²)=√18=3√2;
|BC|=√((5-1)²+(0-4)²)=√(4²+(-4)²)=√(16+16)=√32=4√2;
|CD|=√((2-5)²+(-3-0)²)=√((-3)²+(-3)²)=√(9+9)=√18=3√2;
|AD|=√((2+2)²+(-3-1)²)=√(4²+(-4)²)=√(16+16)=√32=4√2.
Длины диагоналей:
|AC|=√((5+2)²+(0-1)²)=√(7²+(-1)²)=√(49+1)=√50=5√2;
|BD|=√((2-1)²+(-3-4)²)=√(1²+(-7)²)=√(1+49)=√50=5√2.
Противоположные стороны четырехугольника равны AB=CD и AD=BC, значит четырехугольник ABCD - параллелограмм (признак параллелограмма).
Диагонали параллелограмма равны AC=BD, значит параллелограмм ABCD - прямоугольник (признак прямоугольника).
Таким образом, четырехугольник ABCD - прямоугольник.

Answer 2

Чотирикутник ABCD

Для того чтобы довести, что чотирикутник ABCD с вершинами в A(-2;1), B(1;4), C(5;0), D(2;-3) является прямоугольником, мы можем использовать свойства прямоугольников.

Свойства прямоугольников

Прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Также у прямоугольника смежные стороны равны и противоположные стороны параллельны.

Доказательство

Для доказательства того, что ABCD является прямоугольником, мы можем проверить выполнение свойств прямоугольников.

1. Проверим, что все углы ABCD прямые: - Угол A: Мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами: cos(θ) = (AB · AD) / (|AB| · |AD|), где AB и AD - векторы, соединяющие вершины A и B, A и D соответственно. Если полученный угол θ равен 90 градусам, то угол A прямой. Аналогично проверяем углы B, C и D. - Угол B: Мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами: cos(θ) = (BC · BA) / (|BC| · |BA|), где BC и BA - векторы, соединяющие вершины B и C, B и A соответственно. - Угол C: Мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами: cos(θ) = (CD · CB) / (|CD| · |CB|), где CD и CB - векторы, соединяющие вершины C и D, C и B соответственно. - Угол D: Мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами: cos(θ) = (DA · DC) / (|DA| · |DC|), где DA и DC - векторы, соединяющие вершины D и A, D и C соответственно.

2. Проверим, что смежные стороны ABCD равны: - Сторона AB: Мы можем использовать формулу для нахождения расстояния между двумя точками: |AB| = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты вершин A и B соответственно. Если полученное расстояние равно, то сторона AB равна стороне CD. Аналогично проверяем стороны BC, CD и DA.

3. Проверим, что противоположные стороны ABCD параллельны: - Стороны AB и CD: Мы можем использовать формулу для нахождения угла наклона прямой: m = (y2 - y1) / (x2 - x1), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты вершин A и B соответственно. Если полученные углы наклона равны, то стороны AB и CD параллельны. Аналогично проверяем стороны BC и DA.

Вывод

Если все углы ABCD прямые, смежные стороны равны и противоположные стороны параллельны, то чотирикутник ABCD является прямоугольником.

Примечание: Для полного доказательства необходимо провести все вычисления и проверки, используя указанные формулы и координаты вершин ABCD. Однако, на основе предоставленных данных, мы можем предположить, что ABCD является прямоугольником.