Question

26. Биссектриса угла треугольника пересекает сторону под углом 850 и биссектрису одного из углов под углом в 540. Найти величины углов треугольника. 27.В треугольнике АВС С=900, CD - высота треугольника, ВС = 2 BD. Докажите, что AD=3DB

Answer 1

26) В треугольнике ABC: 
BD и СЕ - биссектрисы, пересекающиеся в точке O
Угол COD = 54° 
Угол BDC = 85°, тогда
Угол OCD = 180 - 85 - 54 = 41 (°), тогда 
Угол BCD = 41 * 2 = 82 (°), т.к.  биссектриса CE делит угол BCD пополам
Угол CBD = 180 - 85 - 82 = 13 (°), тогда
Угол ABC = 13* 2 = 26 (°) т.к. биссектриса BD делит угол ABC пополам
Угол BAC = 180 - 82 - 26 = 72 (°)

Ответ: углы треугольника ABC равны 72°, 26°, 82°
-----------------------------------------------------------------------------------------
27) Пусть ABC - прямоугольный треугольник с гипотенузой AB, катетами BC u AC. CD - высота, опещунная на гипотенузу AB.
В прямоугольном треугольнике BCD:
BC - гипотенуза, CD u BD - катеты, причем гипотенуза ВС в 2 раза больше катета BD ⇒ угол BCD = 30°, т.к. катет, противолежащий углу 30° равен половине гипотенузы. ⇒ угол CBD = 180 - 90 - 30 = 60° ⇒
⇒ угол BAC = 180 - 90 - 60 = 30°

В прямоугольном треугольнике ABC:
AB - гипотенуза, BC и AC  - катеты, причем катет BC противолежит углу 30° и следовательно равен половине гипотенузы. 
BC = AB/2
ВС = 2BD
2BD = AB/2
AB = 4BD
AB = AD + BD
AD + BD = 4 BD
AD = 3 BD
Что и требовалось доказать

Answer 2

26. Для решения этой задачи воспользуемся свойствами биссектрисы угла треугольника. Биссектриса делит угол на два равных по величине угла.

Пусть ABC - треугольник, а BD - биссектриса угла B. По условию, биссектриса угла треугольника пересекает сторону под углом 850 и биссектрису одного из углов под углом 540.

Используем свойство биссектрисы: угол ABD = угол CBD = 540 / 2 = 270.

Теперь найдем величины остальных углов треугольника.

Угол ABC = угол ABD + угол CBD = 270 + 540 = 810.

Угол BAC = 180 - угол ABC = 180 - 810 = -630.

Угол ACB = 180 - угол BAC - угол ABC = 180 - (-630) - 810 = 630.

Таким образом, величины углов треугольника равны:

∠ABC = 810, ∠BAC = -630, ∠ACB = 630.

27. Для доказательства AD = 3DB в треугольнике АВС воспользуемся свойствами треугольника и высотой треугольника.

По условию, ∠С = 90°, CD - высота треугольника, ВС = 2BD.

Также известно, что высота треугольника делит его на два прямоугольных треугольника.

Пусть ∠ACD = α и ∠ADB = β. Тогда ∠ADC = 90° - α и ∠BDC = 90° - β.

Используем свойства прямоугольных треугольников.

В прямоугольном треугольнике ACD применим теорему Пифагора:

AC² = AD² + CD².

В прямоугольном треугольнике BDC также применим теорему Пифагора:

BC² = BD² + CD².

Из условия ВС = 2BD получаем, что BC = 2BD.

Подставим это во второе уравнение:

(2BD)² = BD² + CD².

4BD² = BD² + CD².

3BD² = CD².

Теперь заметим, что треугольники ACD и BDC имеют общую высоту CD.

Значит, их площади будут пропорциональны.

Площадь треугольника ACD равна:

SACD = 0.5 * AC * CD.

Площадь треугольника BDC равна:

SBCD = 0.5 * BC * CD.

Так как BC = 2BD, то SBCD = 0.5 * 2BD * CD = BD * CD.

Теперь воспользуемся равенством площадей треугольников:

SACD = SBCD.

0.5 * AC * CD = BD * CD.

0.5 * AC = BD.

AC = 2BD.

Теперь подставим это в первое уравнение:

AC² = AD² + CD².

(2BD)² = AD² + CD².

4BD² = AD² + CD².

Так как 3BD² = CD², то подставим это в уравнение:

4BD² = AD² + 3BD².

BD² = AD².

BD = AD.

Таким образом, мы доказали, что AD = BD, что и требовалось доказать.