Question

Помогите пожалуйста с двумя задачами! С рисунками и полным ответом, пожалуйста! 1. Докажите, что если плоскость y пересекает одну из параллельных плоскостей альфа и бета, то она пересекает и другую плоскость. 2. Докажите, что через точку А, не лежащую в плоскости альфа, проходит плоскость, параллельная плоскости альфа, и притом только одна.

Answer 1

Допустим, прямая не пересекает плоскость бета, а параллельна ей. Тогда все точки этой прямой должны находиться на равном удалении от плоскости бета (иначе один из концов пряой приблизится к плоскости бета и пересечет ее) . Одна точка, точка пересечения прямой с плоскостью альфа, находится на том же расстоянии от плоскости бета, что и плоскость альфа. Следовательно все остальные точки прямой находятся на таком же расстоянии, т. е. лежат в плоскости альфа, значит вся прямая долна лежать в плоскости альфа. Но по условию прямая не лежит в плоскости альфа, а пересекает ее. Таким образом она не может быть параллельна плоскости бета и пересечется с ней.

2Проведем в плоскости α две пересекающиеся прямые a и b, а через точку А проведем прямые a1 и b1, соответственно параллельные прямым а и b. Рассмотрим плоскость β, проходящую через прямые a1 и b1. Плоскость β — искомая, так как она проходит через точку A и по признаку параллельности двух плоскостей параллельна плоскости α.Докажем теперь, что β — единственная плоскость, проходящая через точку А и параллельная плоскости &alpha. В самом деле, любая другая плоскость, проходящая через точку А, пересекает плоскость β, поэтому пересекает и параллельную ей плоскость a 

Answer 2

1. Для доказательства данного утверждения рассмотрим следующую ситуацию:

Пусть плоскость y пересекает плоскость альфа, обозначим их точкой пересечения как Т. Также пусть параллельная плоскость бета не пересекает плоскость y.

Теперь проведем прямую, проходящую через точку Т и параллельную плоскости бета. Поскольку эта прямая параллельна плоскости бета, она не пересекает ее и остается в плоскости альфа.

Однако, поскольку плоскость y пересекает плоскость альфа и прямая, проходящая через точку Т и параллельная плоскости бета, остается в плоскости альфа, то плоскость y должна пересекать и плоскость бета.

Таким образом, мы доказали, что если плоскость y пересекает одну из параллельных плоскостей альфа и бета, то она пересекает и другую плоскость.

2. Для доказательства данного утверждения рассмотрим следующую ситуацию:

Пусть точка А не лежит в плоскости альфа. Проведем прямую, проходящую через точку А и перпендикулярную плоскости альфа. Пусть эта прямая пересекает плоскость альфа в точке В.

Теперь проведем плоскость, проходящую через точки А и В. Поскольку эта плоскость проходит через точку А и перпендикулярна плоскости альфа, она будет параллельна плоскости альфа.

Допустим, что существует еще одна плоскость, проходящая через точку А и параллельная плоскости альфа. Поскольку эта плоскость также параллельна плоскости альфа, она не будет пересекать плоскость альфа. Но это противоречит тому, что точка В лежит в плоскости альфа и находится на прямой, проходящей через точку А. Значит, через точку А, не лежащую в плоскости альфа, проходит только одна плоскость, параллельная плоскости альфа.

Таким образом, мы доказали, что через точку А, не лежащую в плоскости альфа, проходит плоскость, параллельная плоскости альфа, и притом только одна.