Question

В треугольнике ABC AB=BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=18 и CH=42. Найдите cos∠B.

Answer 1

.......................................

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать теорему косинусов. Дано, что в треугольнике ABC сторона AB равна стороне BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH равный 18 и CH равный 42. Мы хотим найти значение cos∠B.

Давайте обозначим угол B как ∠B, сторону AB как a, сторону BC как b и сторону AC как c. Тогда по теореме косинусов мы можем записать:

b^2 = a^2 + c^2 - 2ac * cos∠B

У нас есть два равенства, которые помогут нам найти значения сторон треугольника ABC. Первое равенство гласит, что AB = BC, поэтому a = b. Второе равенство гласит, что BH + CH = BC, поэтому 18 + 42 = 60 = b.

Теперь мы можем записать уравнение с использованием известных значений:

60^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cos∠B

У нас есть два неизвестных значения: сторона c и значение cos∠B. Однако мы можем решить систему уравнений, используя другую информацию, которую нам дано.

Мы знаем, что высота AH делит сторону BC на отрезки BH = 18 и CH = 42. Так как AH является высотой, мы можем использовать подобие треугольников для нахождения значений сторон.

С помощью подобия треугольников мы можем записать следующие отношения:

BH / AH = BC / AC CH / AH = BC / AC

Подставляя значения BH = 18, CH = 42 и BC = 60, мы получаем:

18 / AH = 60 / AC 42 / AH = 60 / AC

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения AH и AC. Для этого мы можем умножить первое уравнение на AH и второе уравнение на AC:

18 * AC = 60 * AH 42 * AH = 60 * AC

Сокращая, мы получаем:

3 * AC = 10 * AH 7 * AH = 10 * AC

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Для этого мы можем разделить первое уравнение на 3 и второе уравнение на 7:

AC = (10/3) * AH AH = (10/7) * AC

Теперь у нас есть значения AH и AC, которые мы можем подставить в уравнение с косинусами:

60^2 = 60^2 + c^2 - 2 * 60 * c * cos∠B

Упрощая уравнение, мы получаем:

0 = c^2 - 2 * 60 * c * cos∠B

Теперь давайте решим это уравнение относительно cos∠B. Разделим обе стороны уравнения на 2 * 60 * c:

0 = c - cos∠B

Теперь выразим cos∠B:

cos∠B = c

Таким образом, значение cos∠B равно значению стороны c.

Поскольку нам дано, что BH = 18 и CH = 42, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти значение стороны c:

c^2 = BH^2 + CH^2 c^2 = 18^2 + 42^2 c^2 = 324 + 1764 c^2 = 2088 c ≈ 45.7

Таким образом, значение cos∠B равно приблизительно 45.7.