Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2-1 y=0 x=2

Answer 1

Рисунок.  Изобразим схему  фигуры, ограниченной линиями у=х²-1,  у=0,  х=2.  Получили  фигуру,  состоящую из  2-х  частей.  АВС ограничена  отрицательной  частью функции,  ее площадь  выразится формулой  S= - (F(1)-F(-1)),  площадь фигуры СМК  найдем как  S= (F(2)-F(1).  Общая площадь равна сумме площадей фигур АВС и СКМ
найдем первообразную для функции  у=х²-1,  F(X)=x³/3-x+C
найти площадь фигуры АВС,  S= - (F(1)-F(-1))=-(1/3-1+1/3-1)=4/3
Площадь СКМ  S=F(2)-F(1)+8/3-2-1/3+1=4/3
4/3+4/3=8/3=2 2/3
Ответ:      8/3

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, необходимо найти точки пересечения этих линий.

Уравнение y = x^2 - 1 задает параболу, а уравнение y = 0 задает ось x. Исходя из этого, точка пересечения будет иметь координаты (x, 0), где x - корень уравнения x^2 - 1 = 0.

Решим уравнение x^2 - 1 = 0: x^2 = 1 x = ±√1 x1 = -1, x2 = 1

Таким образом, точки пересечения линий y = x^2 - 1 и y = 0 будут (-1, 0) и (1, 0).

Теперь определим границы интегрирования. Из условия задачи видно, что фигура ограничена осью x и линией x = 2. Значит, площадь фигуры можно найти, вычислив определенный интеграл по переменной x от -1 до 2 для функции y = x^2 - 1.

S = ∫[a, b] (x^2 - 1) dx S = ∫[-1, 2] (x^2 - 1) dx = ∫[-1, 2] (x^2 dx - dx)

Интегрируя, получаем: S = [x^3/3 - x] [-1, 2] S = (2^3/3 - 2) - (-1^3/3 - (-1)) S = (8/3 - 2) - (-1/3 + 1) S = 8/3 - 6/3 + 1/3 + 3/3 S = 6/3 + 4/3 S = 10/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - 1, y = 0 и x = 2, равна 10/3.