Question

В кубе АВСDA1B1C1D1 точка М лежит на ребре АА1, причём АМ : МА1 = 3 : 2 , N – середина CD. Найдите угол между прямой MN и плоскостью BDD1. Решите пожалуйста! !!

Answer 1

Пусть куб единичный.
Пусть А- начало координат.
Ось Х - АВ
Ось У - АD
Ось Z - AA1

Координаты точек
М(0;0;0.6)
N(0.5;1;0)

Вектор MN(0.5;1;0.6)
его длина √(1/4+1+9/25)=√161/10
Уравнение плоскости BDD1
ax+by+cz+d=0
Подставляем координаты точек B(1;0;0) D(0;1;0) и D1(0;1;1)
а+d=0
b+d=0
b+c+d=0
Пусть d= -1
Тогда a=1 b=1 c=0
x+y-1=0

Синус искомого угла
(0.5+1)/√2//(√161/10)=15/√322

Answer 2

Для решения данной задачи, нам понадобятся некоторые свойства геометрии.

Поскольку точка М лежит на ребре АА1 и АМ:МА1 = 3:2, то мы можем представить вектор МА1 как сумму векторов МА и АА1, причем МА:АА1 = 3:2.

Обозначим вектор МА через а, а вектор АА1 через b. Тогда вектор МА1 можно представить как а + b.

Также, поскольку N - середина ребра CD, то вектор ND = 1/2 вектора CD.

Обозначим вектор ND через с.

Теперь мы можем выразить вектор МN через векторы а, b и с: МН = МD + DN = (МА1 - АD1) + (ND - NA) = (а + b) + (с - (-а)) = а + b + с + а = 2а + b + с.

Угол между вектором МN и плоскостью BDD1 можно найти с помощью формулы:

cos(угол) = (вектор МN * нормаль плоскости BDD1) / (длина вектора МN * длина нормали плоскости BDD1).

Нормаль плоскости BDD1 можно найти как векторное произведение векторов BD и BD1: нормаль плоскости BDD1 = BD x BD1.

Теперь осталось только подставить значения в формулу и вычислить угол.