Question

Помогите пожалуйста!!! Докажите что: 1) если все вершины четырехугольника ABCD лежат в одной плоскости, если его диагонали ac и bd пересекаются 2) вычислите площадь четырехугольника если ас перпендикулярна вd, ас = 10 см, вd = 12 см.

Answer 1

1) Первый пункт задачи должен быть сформулирован так:

докажите, что все вершины четырехугольника АВСD лежат в одной плоскости, если его диагонали АС и ВD пересекаются.

Воспользуемся теоремой: через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и при том только одну.

Даны две пересекающиеся прямые АС и ВD. Проходящую через них плоскость обозначим α.

Прямая АС лежит в плоскости α, значит А∈α и В∈α.

Прямая ВD лежит в плоскости α, значит В∈α и D∈α.

Точки А, В, С, D принадлежат плоскости α, т.е. все вершины четырехугольника АВСD принадлежат плоскости α.

Что и требовалось доказать.

2) Рисунок к задаче прикреплен. Дан четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны и известны длины этих диагоналей (смотри рисунок).

Воспользуемся формулой для вычисления площади четырехугольника по двум диагоналям и углу между ними.

$S=\frac{1}{2}d_1*d_2*sin\alpha$, где $d_1, d_2$ – диагонали четырехугольника, $\alpha$ – угол между диагоналями.

$S=\frac{1}{2}d_1*d_2*sin\alpha=\frac{1}{2}*AC*BD*sin90^o=\frac{1}{2}*10*12*sin90^o=\\ \\=\frac{1}{2}*10*12*1=60$

Ответ: площадь АВСD равна 60 см².

Answer 2

Для доказательства первого утверждения нужно использовать основные свойства четырехугольников и плоских геометрических фигур.

Вершины четырехугольника в одной плоскости

Предположим, что все вершины четырехугольника ABCD лежат в одной плоскости. Для доказательства этого факта можно воспользоваться следующими свойствами:

1. Все прямые, проходящие через две точки в трехмерном пространстве, лежат в одной плоскости. Поскольку каждая диагональ четырехугольника проходит через две его вершины, мы можем заключить, что диагонали AC и BD лежат в одной плоскости.

2. Если все вершины четырехугольника лежат в одной плоскости, то все его стороны и диагонали также лежат в этой плоскости. Таким образом, диагонали AC и BD, пересекающиеся в точке O, лежат в той же плоскости, что и стороны и другие диагонали четырехугольника ABCD.

Таким образом, первое утверждение доказано: если все вершины четырехугольника ABCD лежат в одной плоскости, то его диагонали AC и BD пересекаются.

Вычисление площади четырехугольника

Для вычисления площади четырехугольника ABCD с перпендикулярными диагоналями AC и BD, известными значениями AC = 10 см и BD = 12 см, можно воспользоваться формулой для площади четырехугольника, имеющего перпендикулярные диагонали:

S = 0.5 * d1 * d2

где S - площадь четырехугольника, d1 и d2 - длины перпендикулярных диагоналей.

В данном случае, d1 = AC = 10 см и d2 = BD = 12 см. Подставляя значения в формулу, получаем:

S = 0.5 * 10 * 12 = 60 см²

Таким образом, площадь четырехугольника ABCD равна 60 см².