Question

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.

Answer 1

F`(xo)=tga=2/8=1/4=0,25
***Пользуемся координатами точек, отмеченных на касательной (-4;5) и (4;3)
    Строим прямоугольный треугольник с вершинами в этих точках и в точке с координатами (-4;3). Далее, катеты этого треугольника равны 2 и 8.
Теперь осталось найти тангенс угла наклона касательной к оси Ох. (см. решение выше)

Answer 2

Не пугайся всеми этими производными. Тебе нужно знать всего две вещи:

1) Производная - коэффициент наклона касательной к графику функции в точке

2) Коэффициент наклона прямой находится по формуле $k=\frac{y_2-y_2}{x_2-x_1}$, если известны координаты двух ее точек - $(x_1;y_1)$ и $(x_2;y_2)$

За первую точку можно принять любую из двух известных, формула от этого не изменится. Мы отчетливо видим наши две точки: $(-4;5)$ и $(4;3)$. Применяем формулу:

$k=\frac{3-5}{4-(-4)}=\frac{-2}{8}=-\frac{1}{4}$

Напоследок, если же взять другую точку первой, то

$k=\frac{5-3}{-4-4}=\frac{2}{-8}=-\frac{1}{4}$

Вот и все. Это и есть наша производная в точке $x_0$. Ты можешь спросить: но ведь $x_0$ вообще лежит на горизонтальной оси, какое отношение она имеет к графику? А ответ такой: мысленно передвигая график функции (кривую) вверх-вниз, мы не изменим значения производной ни в одной точке - касательная просто сместится на столько же. Так что для краткости вместо "касательная в точке $(x_0,f(x_0) )$" пишут "касательная в точке $x_0$".