Question

5. BD – биссектриса Δ ABC. На ее продолжении выбрана точка K так, что DK=AB. При этом оказалось, что AK║BC. Докажите, что AB > BC

Answer 1

BD – биссектриса Δ ABC. На ее продолжении выбрана точка K так,
что DK=AB. При этом оказалось, что AK║BC. Докажите, что AB > BC

АК║ВС. ВК секущая при этих параллельных прямых, и угол СВК=углу ВКА как накрестлежащие.
Угол АВК=углу КВС, т.к. ВD - биссектриса. ⇒
угол АВК=углу АКВ ⇒
треугольник ВАК - равнобедренный.
АВ=АК. Но DК=АВ по условию.
Следовательно, и треугольник АКD - равнобедренный.
АС - секущая при параллельных ВС и АК, и  углы ВСА и САК равны как накрестлежащие.
В равнобедренном треугольнике  АКD угол DАК=углу АDК
Но угол ВDС треугольника ВDС, как вертикальный, равен углу АDК. ⇒
угол ВDС=углу ВСD
Треугольник DВС - равнобедренный и ВD=ВС.
Опустим из В на АС перпендикуляр ВН и вспомним теорему:
Если из одной и той же точки проведены к прямой две наклонные, то та из  них больше, которая  имеет большую проекцию на эту прямую.
АН проекция АВ на АС. 
DН - проекция ВD на АС
АН=АD+DН, поэтому  АН >DH.
Следовательно, АВ>ВD.
 Но, как доказано выше,  ВD =ВС. Следовательно, АВ>BC, что и требовалось доказать. 
----------
[email protected]

Answer 2

Для доказательства того, что AB > BC в данной ситуации, мы можем использовать свойства биссектрисы и параллельных линий.

Известные факты:

1. BD является биссектрисой угла ABC. 2. DK = AB. 3. AK || BC.

Доказательство:

Мы знаем, что BD является биссектрисой угла ABC, поэтому угол ABD равен углу CBD. Кроме того, DK = AB.

Так как AK || BC, у нас есть параллельные линии AK и BC. Из этого следует, что угол ABD также равен углу BKC (по соответственным углам).

Теперь у нас есть два треугольника: треугольник ABD с биссектрисой BD и треугольник BKC с параллельными сторонами AK и BC.

Так как углы ABD и BKC равны, а сторона DK равна стороне AB, по теореме о равенстве треугольников (Угол-сторона-угол) мы можем сделать вывод, что треугольники ABD и BKC равны.

Теперь мы знаем, что сторона AB равна стороне DK и треугольники ABD и BKC равны. Поэтому сторона AB равна стороне KC (по свойству равных треугольников).

В итоге, мы получаем, что AB = KC.

Так как AB = KC, а треугольник ABC не является вырожденным (т.е. имеет ненулевую площадь), AB должна быть больше, чем BC.

Таким образом, мы доказали, что AB > BC, используя свойства биссектрисы и параллельных линий.

Ответ: AB > BC.