Question

Точки А и В лежат по разные стороны от прямой и на одинаковых расстояниях от нее. Докажите , что прямая пересекает отрезок AB в его середине. (с рисунком ) Помогите пожалуйста !!!!!!!!!!!

Answer 1

Итак, для того, чтобы доказать, что прямая пересекает отрезок АВ посередине, нам надо доказать равенство треугольников АНО и КВО, из которого будет следовать равенство отрезков АО и ОВ, что и является нашей целью. 
Рассмотрим треуг. АНО и треуг. КВО. Они прямоугольные, т.к. расстояние от точки до прямой есть высота, проведенная из этой точки к данной прямой.
1. АН=КВ (по условию задачи)
2. угол АОН=углу КОВ (т.к. вертикальные)
Следовательно, треуг. АНО=треуг.КВО. 
Следовательно, АО=ОВ.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, нам необходимо воспользоваться свойством симметрии.

Предположим, что точка С - середина отрезка АВ. Тогда, так как точки А и В лежат на одинаковом расстоянии от прямой, то отрезок АС и отрезок ВС также будут равными.

Теперь рассмотрим два случая:

1) Если точка С лежит на прямой, то отрезок АС и отрезок ВС будут совпадать и пересекать прямую в точке С.

2) Если точка С не лежит на прямой, то отрезок АС и отрезок ВС будут параллельны прямой. В этом случае, по свойству симметрии, точка С будет находиться на таком же расстоянии от прямой, как и точки А и В. Таким образом, отрезки АС и ВС снова будут равными и пересекать прямую в одной и той же точке.

Таким образом, в обоих случаях прямая пересекает отрезок АВ в его середине.

(Рисунок) A-----------------C-----------------B | | | | | | |