Question

В треугольнике АВС проведены медианы АА1=9 и ВВ1=12,а сторона АВ=10. Чему равна площадь треугольнка АВС и третья медиана?

Answer 1

Дано: Δ АВС, АВ=10, АА₁=9, ВВ₁=12.

Найти S(АВС), СС₁.

 

Решение: 

Применяем теорему: медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

 

Следовательно, АО=6, ОА₁=3;  ВО=8, ОВ₁=4.

 

Рассмотрим Δ АВО - прямоугольный, "египетский", (т.к. стороны кратны 3, 4 и 5).

S(ABO)=1\2 * 6 * 8=24 (ед²)

 

S(ABO)=S(BOC)=S(AOC) (по свойству медиан треугольника)

S(ABC)=24*3=72 (ед²)

 

Δ АОВ - прямоугольный, ОС₁ - медиана, ОС₁=1\2 АВ (по свойству медианы прямоугольного треугольника); ОС₁=5.

ОС₁=5*2=10;  СС₁=5+10=15 (ед)

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать формулу для вычисления площади треугольника по длинам его медиан:

Площадь треугольника = (4/3) * sqrt(p * q * r), где p, q и r - длины медиан треугольника.

Мы знаем, что медиана АА1 равна 9 и медиана ВВ1 равна 12. Также дано, что сторона АВ равна 10. Чтобы найти третью медиану, нам потребуется использовать формулу:

Медиана = (2/3) * sqrt(2 * (a^2 + b^2) - c^2), где a, b и c - стороны треугольника.

Давайте вычислим площадь треугольника и третью медиану по заданным данным.

Вычисление площади треугольника

По определению, медиана треугольника делит его площадь на 6 равных частей. Таким образом, площадь треугольника можно найти, умножив длины медиан на 6.

Медиана АА1 = 9 Медиана ВВ1 = 12

Площадь треугольника = 6 * (медиана АА1) * (медиана ВВ1)

Подставим значения:

Площадь треугольника = 6 * 9 * 12 = 648

Таким образом, площадь треугольника АВС равна 648.

Вычисление третьей медианы

Для вычисления третьей медианы, нам нужно знать длины сторон треугольника. У нас уже есть длины сторон АВ (10) и медиан АА1 (9) и ВВ1 (12).

Третья медиана равна:

Медиана = (2/3) * sqrt(2 * (сторона АВ^2 + медиана АА1^2) - медиана ВВ1^2)

Подставим значения:

Медиана = (2/3) * sqrt(2 * (10^2 + 9^2) - 12^2)

Выполняя вычисления:

Медиана = (2/3) * sqrt(2 * (100 + 81) - 144) = (2/3) * sqrt(2 * 181 - 144) = (2/3) * sqrt(362 - 144) = (2/3) * sqrt(218) ≈ (2/3) * 14.7648 ≈ 9.8432

Таким образом, третья медиана треугольника АВС примерно равна 9.8432.