Question

Точки A и C лежат по разные стороны от прямой BD Докажите что если ab параллельно CD и AB равно CD то угол ABD равно угол CDB

Answer 1

(5)  (6) . Сумма всех плоских углов всех граней тетраэдра равна сумме углов четырёх треугольников, т.е. 720o , поэтому, если суммы углов при каждой вершине равны, то каждая из этих сумм равна 180o . Обратное: (6)  (5) – очевидно. (4)  (8) . Если R – радиус описанной около тетраэдра сферы, r – радиус вписанной сферы и центры этих сфер совпадают (рис.1), то точка касания сферы с каждой гранью лежит лежит внутри этой грани и удалена от каждой вершины треугольника на расстояние  , т.е. является центром описанной около этого треугольника окружности радиуса  . 

(8)  (4) . В любом тетраэдре перпендикуляры, опущенные из центра O описанной сферы на грани (рис.1), попадают в центры описанных окружностей, и если радиусы этих окружностей равны R1 , то точка O одинаково удалена от всех граней (на расстояние  ), а т.к. все грани – остроугольные треугольники, то O – центр вписанной сферы. 

(8)  (6) . Если радиусы описанных окружностей граней ABC и DBC тетраэдра ABCD равны, то  BAC =  BDC , поскольку эти углы острые и опираются на равные дуги BC в равных окружностях (рис.2). Аналогично для всех пар смежных граней. Таким образом, 

 BDC +  CDA +  ADB =  BAC+ CBA + ACB = 180o.

Answer 2

Задача

Доказать, что если прямая AB параллельна прямой CD и отрезок AB равен отрезку CD, то угол ABD равен углу CDB.

Решение

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами параллельных прямых и равенства отрезков.

Из условия задачи известно, что прямая AB параллельна прямой CD и отрезок AB равен отрезку CD. Обозначим точку пересечения прямых AB и CD как точку O.

Так как AB параллельна CD, то угол AOB и угол BOC являются соответственными углами и равны друг другу.

Также, по свойству равенства отрезков, отрезок AO равен отрезку CO и отрезок BO равен отрезку DO.

Теперь рассмотрим треугольники ABD и CDB. У них есть следующие равные стороны:

- AB = CD (по условию задачи) - AO = CO (по свойству равенства отрезков) - BO = DO (по свойству равенства отрезков)

Таким образом, треугольники ABD и CDB являются равнобедренными треугольниками, так как у них равны две стороны и один угол (угол AOB и угол BOC).

Из свойств равнобедренных треугольников следует, что угол ABD равен углу CDB.

Таким образом, мы доказали, что если прямая AB параллельна прямой CD и отрезок AB равен отрезку CD, то угол ABD равен углу CDB.