Question

Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если высота, проведённая к гипотенузе, равна 5√3, а проекция одного из катетов - 15 см.

Answer 1

Ответ: 30°; 60°.

Объяснение:  Проекциями катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника называются отрезки, на которые делит её высота.

 Пусть в ∆ АВС угол С=90°, АВ - гипотенуза, высота СН=5√3, ВН=15 - проекция катета ВС.

     ∆ ВСН - прямоугольный, СН:ВН=tg∠CBH=(5√3):15= 1/√3 – это тангенс 30°⇒

∠ СВА=30°. Из суммы острых углов прямоугольного треугольника ∠САВ=90°-30°=60°

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобятся основные свойства прямоугольного треугольника.

Пусть треугольник ABC является прямоугольным, где угол C прямой угол. Пусть h - высота, проведенная к гипотенузе AB, a - длина катета AC, b - длина катета BC, и c - длина гипотенузы AB.

Из свойств прямоугольного треугольника, мы знаем, что проекция катета на гипотенузу равна отношению длины катета к длине гипотенузы.

То есть, AC/AB = h/c.

Мы знаем, что h = 5√3 и AC = 15 см. Подставляя эти значения в уравнение, получаем:

15/AB = 5√3/c.

Упрощая это уравнение, получаем:

3/AB = √3/c.

Умножая обе части уравнения на AB, получаем:

3 = √3AB/c.

Возводя это уравнение в квадрат, получаем:

9 = 3AB^2/c^2.

Умножая обе части уравнения на c^2, получаем:

9c^2 = 3AB^2.

Делим обе части уравнения на 3, получаем:

3c^2 = AB^2.

Извлекая квадратный корень, получаем:

AB = √3c.

Теперь мы можем найти длину другого катета BC, используя теорему Пифагора:

BC^2 = c^2 - AB^2.

Подставляя значение AB = √3c, получаем:

BC^2 = c^2 - 3c^2.

Упрощая это уравнение, получаем:

BC^2 = 2c^2.

Извлекая квадратный корень, получаем:

BC = √2c.

Теперь мы можем найти острые углы треугольника, используя тригонометрические функции.

Угол A будет равен арктангенсу (противоположный катет/прилежащий катет), то есть:

A = arctan(BC/AC) = arctan((√2c)/(15)).

Угол B будет равен арктангенсу (противоположный катет/прилежащий катет), то есть:

B = arctan(AC/BC) = arctan((15)/(√2c)).

Теперь, подставляя значение c = AB/√3, получаем:

A = arctan((√2(AB/√3))/(15)) = arctan((√2AB)/(15√3)).

B = arctan((15)/(√2(AB/√3))) = arctan((15√3)/(√2AB)).

Таким образом, острые углы прямоугольного треугольника равны arctan((√2AB)/(15√3)) и arctan((15√3)/(√2AB)).