Question

Точка M — середина основания ВС равнобедренного треугольника ABC, точки D и E лежат на сторонах AB и AC так, что угол DMB = 45° и угол DME = 90°. Докажите, что отрезок ME — биссектриса угла AMC​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

углы BMD и DME в сумме дают угол 45+90=135 ;

Угол EMC будет равен 180-135=45 ;

по условию треугольник АВС равнобедренный, значит углы при основании АВС и АСВ равны потому что мы получили 2 треугольника DBM и EMC: они равны по сторонам и 2м прилежащим к основаниям углам. И если угол ЕМС=45, то угол АМЕ равен 90-45=45 то есть МЕ и есть БИССЕКТРИСА треугольника АМС; Что и требовалось доказать!

Answer 2

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и свойствами биссектрисы угла.

Поскольку точка M является серединой основания ВС, то отрезок МВ равен отрезку МС.

Также из условия задачи известно, что угол DMB равен 45° и угол DME равен 90°.

Из свойств равнобедренного треугольника следует, что угол МВС равен углу МСВ. Обозначим эти углы как α.

Так как угол DME равен 90°, то треугольник DME является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике DME угол МDE равен α/2, так как отрезок ME является биссектрисой угла DМС.

Также из прямоугольного треугольника DME следует, что угол МЕD равен 90° - α/2.

Из равенства углов МDE и МЕD следует, что угол МDE равен 90° - α/2.

Теперь рассмотрим треугольник AMC. В этом треугольнике известно, что угол AMC равен 2α, так как треугольник ABC является равнобедренным.

Также из теоремы о сумме углов треугольника следует, что угол MAC равен 180° - 2α.

Из равенства углов MAC и МЕD следует, что угол MAC равен углу МЕD.

Таким образом, отрезок ME является биссектрисой угла AMC.