Question

Найдите длины сторон прямоугольного треугольника, если известно, что один из катетов на 1 см меньше гипотенузы, а другой - на 2

Answer 1

пусть гипотенуза x

тогда первый катет x-1

а второй x-2

по т. Пифагора:

x²=(x-1)²+(x-2)²

x²=(x²-2x+1)+(x²-4x+4)

x²=2x²-6x+5

x²-6x+5=0

по т. Виетта

x₁=1

x₂=5

 

x₁=1 - не подходит для решения, т.к. первый катет не может быть равен нулю, а второй (-1)

x₂=5

след-но катет №1=x-1=5-1=4, а катет №2=x-2=5-2=3

 

ответ. стороны треугольника равны 5, 4 и 3

Answer 2

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Пусть один катет треугольника равен x см, а другой (x-1) см. Тогда гипотенуза будет равна (x+2) см.

Применяя теорему Пифагора, получаем: x^2 + (x-1)^2 = (x+2)^2

Раскрываем скобки: x^2 + x^2 - 2x + 1 = x^2 + 4x + 4

Сокращаем x^2 с обеих сторон: x^2 - 2x + 1 = 4x + 4

Переносим все слагаемые на одну сторону уравнения: x^2 - 6x - 3 = 0

Решаем квадратное уравнение: D = b^2 - 4ac D = (-6)^2 - 4*1*(-3) = 36 + 12 = 48

x1,2 = (-b ± √D) / 2a x1,2 = (6 ± √48) / 2 = (6 ± 4√3) / 2 = 3 ± 2√3

Таким образом, получаем два возможных значения для x: 3 + 2√3 и 3 - 2√3.

Теперь найдем длины сторон прямоугольного треугольника: 1) Если x = 3 + 2√3: Первый катет: 3 + 2√3 см Второй катет: (3 + 2√3) - 1 = 2 + 2√3 см Гипотенуза: (3 + 2√3) + 2 = 5 + 2√3 см

2) Если x = 3 - 2√3: Первый катет: 3 - 2√3 см Второй катет: (3 - 2√3) - 1 = 2 - 2√3 см Гипотенуза: (3 - 2√3) + 2 = 5 - 2√3 см

Таким образом, длины сторон прямоугольного треугольника будут различными в зависимости от выбора значения x.