Question

16. Медианы, проведенные к катетам прямоугольного треугольника, равны 15 и 6 под корнем 5. Найти гипотенузу треугольника.​

Answer 1

Ответ:

Гипотенуза треугольника равна 18

Объяснение:

Пусть $BC = 2x$, $AC = 2y$.

Тогда по теореме Пифагора из треугольника $ACM$

${(2y)^2} + {x^2} = {15^2},$

а из треугольника $BCN$

${(2x)^2} + {y^2} = {(6\sqrt 5 )^2}.$

Получили систему уравнений

$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4{y^2} = 225,\\4{x^2} + {y^2} = 180.\end{array} \right.$

Из второго уравнения ${y^2} = 180 - 4{x^2},$ тогда

${x^2} + 4(180 - 4{x^2}) = 225;\\\\{x^2} + 720 - 16{x^2} = 225;\\\\15{x^2} = 495\\\\{x^2} = 33,$

откуда

${y^2} = 180 - 4 \cdot 33 = 48.$

По теореме Пифагора из треугольника $ABC$

$A{B^2} = {(2x)^2} + {(2y)^2} = 4{x^2} + 4{y^2} = 4(33 + 48) = 4 \cdot 81;\\\\AB = 2 \cdot 9 = 18.$

Answer 2

Ответ:

18 ........................

Объяснение:

Answer 3

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c.

Медианы, проведенные к катетам, делят каждый катет пополам и перпендикулярны к ним. Поэтому мы можем построить два прямоугольных треугольника, в которых медиана является высотой, а катеты - половинами катетов исходного треугольника.

В первом треугольнике, с медианой 15 и половиной катета a/2, применим теорему Пифагора: (1) (a/2)^2 + h^2 = 15^2

Во втором треугольнике, с медианой 6√5 и половиной катета b/2, также применим теорему Пифагора: (2) (b/2)^2 + h^2 = (6√5)^2

Разрешим оба уравнения относительно h^2: (3) h^2 = 15^2 - (a/2)^2 (4) h^2 = (6√5)^2 - (b/2)^2

Так как h^2 одно и то же в обоих уравнениях, можно приравнять правые части: (5) 15^2 - (a/2)^2 = (6√5)^2 - (b/2)^2

Раскроем скобки и упростим выражение: (6) 225 - a^2/4 = 180 - b^2/4

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателей: (7) 900 - a^2 = 720 - b^2

Перегруппируем члены: (8) a^2 - b^2 = 900 - 720 (9) a^2 - b^2 = 180

Теперь применим разность квадратов: (10) (a + b)(a - b) = 180

Так как a и b - катеты, они положительны, поэтому a + b > a - b. Поэтому a + b - это гипотенуза треугольника.

Разложим 180 на множители: 180 = 2 * 2 * 3 * 3 * 5

Мы можем выбрать два числа из этого разложения, сумма которых даст a + b. Так как гипотенуза треугольника должна быть больше суммы катетов, выберем наибольшие числа - 9 и 5. Тогда получим систему уравнений: a + b = 9 a - b = 5

Решим эту систему методом сложения: 2a = 14 a = 7

Подставим найденное значение a в одно из исходных уравнений: 7 + b = 9 b = 2

Таким образом, катеты треугольника равны 7 и 2. Применим теорему Пифагора для нахождения гипотенузы: c^2 = 7^2 + 2^2 c^2 = 49 + 4 c^2 = 53 c = √53

Таким образом, гипотенуза треугольника равна √53.