Question

Касательные АС и ВС, проведенные к окружности с центром в точке О из точки С пересекаются под углом 48°. Найдите градусную меру <АВО .

Answer 1

Так как касательные АС и ВС проведены к окружности с центром в точке О, то они перпендикулярны радиусам, проведенным в точках касания. Таким образом, <ACО = 90° и <BCО = 90°.

Также, из геометрических свойств окружности, известно, что угол, образованный двум пересекающимися хордами, равен половине суммы дуг, соответствующих этим хордам. Поэтому угол между касательными AC и BC равен половине суммы дуг АВ и АС.

Пусть <АВО = х. Тогда также <ВАО = х (так как треугольник АВО равнобедренный), и <АОВ = 180° - 2х (так как сумма углов треугольника АОВ равна 180°).

Тогда угол между касательными AC и BC равен:

1/2(дуга АС + дуга ВА) = 1/2(2х + 180° - 2х) = 1/2(180°) = 90°

Таким образом, угол между касательными AC и BC равен 90°, что было дано в условии. Ответ: <АВО = 90°.

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно использовать свойство касательных к окружности, которое гласит, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Пусть \(AB\) и \(BC\) - касательные к окружности с центром в точке \(O\), а точка касания касательной \(AB\) обозначена как \(D\), а точка касания касательной \(BC\) - как \(E\).

Также у нас есть информация о том, что угол между касательными \(AB\) и \(BC\) равен 48°. Тогда у нас есть прямоугольный треугольник \(ODE\) с углом \(DOE = 48°\), так как он образован радиусом и касательной, проведенными к одной и той же точке.

Теперь рассмотрим треугольник \(OAB\). Угол \(AOB\) - это угол, который мы ищем (\(∠АВО\)), и мы видим, что он составлен двумя касательными к окружности. Так как угол между касательными равен 48°, то угол \(AOB\) равен \(2 \cdot 48° = 96°\).

Таким образом, градусная мера угла \(∠АВО\) равна 96°.